В окружности с центром O проведены две параллельные хорды AB и CD. Окружности с диаметрами AB и CD пересекаются в точке P.
Доказать, что середина отрезка OP равноудалена от прямых AB и CD.

   Решение

Высота правильной шестиугольной пирамиды равна стороне основания. Найдите угол между соседними боковыми гранями.

   Решение

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна , а угол боковой грани с плоскостью основания равен 60^o . Найдите объём пирамиды.

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте пятиугольник по серединам его сторон.

   Решение

Пусть l_a , l_b и l_c – длины биссектрис углов A , B и C треугольника ABC , а m_a , m_b и m_c – длины соответствующих медиан. Докажите, что

+ + >1

   Решение

Дан выпуклый шестиугольник P₁P₂P₃P₄P₅P₆, все стороны которого равны. Каждую его вершину отразили симметрично относительно прямой, проходящей через две соседние вершины. Полученные точки обозначили через Q₁, Q₂, Q₃, Q₄, Q₅ и Q₆ соответственно. Докажите, что треугольники Q₁Q₃Q₅ и Q₂Q₄Q₆ равны.

   Решение

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны a . Найдите расстояние между стороной основания и противоположной боковой гранью.

   Решение

В основании прямой призмы лежит равносторонний треугольник. Плоскость, проходящая через одну из сторон нижнего основания и противоположную вершину верхнего, наклонена к плоскости нижнего основания под углом ϕ . Площадь этого сечения равна Q . Найдите объём призмы.

   Решение

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны a . Найдите расстояние между диагональю основания и скрещивающимся с ней боковым ребром.

   Решение

Четырёхугольник ABCD является одновременно и вписанным, и описанным, причём вписанная в ABCD окружность касается его сторон AB, BC, CD и AD в точках K, L, M, N соответственно. Биссектрисы внешних углов A и B четырёхугольника пересекаются в точке K', внешних углов B и C – в точке L', внешних углов C и D – в точке M', внешних углов D и A – в точке N'. Докажите, что прямые KK', LL', MM' и NN' проходят через одну точку.

   Решение

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a . Боковая грань образует с плоскостью основания угол 60^o . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

   Решение

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AH_A, BH_B и CH_C.
Докажите, что треугольник с вершинами в ортоцентрах треугольников AH_BH_C, BH_AH_C и CH_AH_B равен треугольнику H_AH_BH_C.

   Решение

В основании A₁A₂...A_n пирамиды SA₁A₂...A_n лежит точка O, причём  SA₁ = SA₂ = ... = SA_n  и  ∠SA₁O =  ∠SA₂O = ... = ∠SA_nO.
При каком наименьшем значении n отсюда следует, что SO – высота пирамиды?

   Решение

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны. Найдите угол между противоположными боковыми гранями.

   Решение

Дан треугольник ABC , в котором AB=BC=5 , а радиус описанной окружности равен . На высоте CD выбрана точка E так, что CE=CD , и через точку E проведена прямая l , параллельная BC . Найдите расстояние от центра окружности, вписанной в треугольник ABC , до прямой l .

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 49]      

Дан треугольник ABC , в котором AB=BC=5 , медиана AD= . На биссектрисе CE выбрана точка F такая, что CF=CE . Через точку F проведена прямая l , параллельная BC . Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC , до прямой l .

Прислать комментарий

Решение

Дан треугольник ABC , в котором AB=BC=5 , а радиус описанной окружности равен . На высоте CD выбрана точка E так, что CE=CD , и через точку E проведена прямая l , параллельная BC . Найдите расстояние от центра окружности, вписанной в треугольник ABC , до прямой l .

Прислать комментарий

Решение

Дан треугольник ABC , в котором AB=BC , AC=6 , а радиус вписанной окружности равен . На медиане CD выбрана точка E так, что CE=CD . Через точку E проведена прямая l , параллельная BC . Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC , до прямой l .

Прислать комментарий

Решение

Дан треугольник ABC , в котором AB=BC , AC=6 , высота AD= . На биссектрисе CE выбрана точка F такая, что CF=CE . Через точку F проведена прямая l , параллельная BC . Найдите расстояние от центра окружности, вписанной в треугольник ABC , до прямой l .

Прислать комментарий

Решение

Радиус вписанной в треугольник окружности равен , а длины высот треугольника — целые числа, сумма которых равна 13. Вычислить длины сторон треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 49]