Версия для печати
Убрать все задачи

---

Четырёхугольник ABCD, в котором  AB = BC  и  AD = CD,  вписан в окружность. Точка M лежит на меньшей дуге CD этой окружности. Прямые BM и CD пересекаются в точке P, а прямые AM и BD – в точке Q. Докажите, что  PQ || AC.

   Решение

---

Точки A', B' и C' – середины сторон соответственно BC, CA и AB треугольника ABC, а BH – его высота.
Докажите, что если описанные окружности треугольников AHC' и CHA' окружности проходят через точку M, то  ∠ABM = ∠CBB'.

   Решение

Страница: << 162 163 164 165 166 167 168 >> [Всего задач: 1032]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111568

Темы:   [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Высоты AA1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H . Точка B0 – середина стороны AC . Докажите, что точка пересечения прямых, симметричных BB0 и HB0 относительно биссектрис углов ABC и AHC соответственно, лежит на прямой A1C1 .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111598

Темы:   [ Точка Микеля ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Точки A', B' и C' – середины сторон соответственно BC, CA и AB треугольника ABC, а BH – его высота.
Докажите, что если описанные окружности треугольников AHC' и CHA' окружности проходят через точку M, то  ∠ABM = ∠CBB'.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111712

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ] [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Дана окружность и точка O на ней. Вторая окружность с центром O пересекает первую в точках P и Q. Точка C лежит на первой окружности, а прямые CP, CQ вторично пересекают вторую окружность в точках A и B. Докажите, что  AB = PQ.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115773

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Найдите геометрическое место центров правильных треугольников, стороны которых проходят через три заданные точки A, B, C (то есть на каждой стороне или ее продолжении лежит ровно одна из заданных точек).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115779

Темы:   [ Системы точек и отрезков (прочее) ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

На сторонах угла взяты точки A, B. Через середину M отрезка AB проведены две прямые, одна из которых пересекает стороны угла в точках A₁, B₁, другая – в точках A₂ , B₂. Прямые A₁B₂ и A₂B₁ пересекают AB в точках P и Q. Докажите, что M – середина PQ.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 162 163 164 165 166 167 168 >> [Всего задач: 1032]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями