Каталог по темам

Задачи

Страница: << 60 61 62 63 64 65 66 >> [Всего задач: 352]

Задача 111724

Темы:	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Параллелограммы (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Дан параллелограмм ABCD, в котором AB = a, AD = b. Первая окружность имеет центр в вершине A и проходит через D, вторая имеет центр в C и проходит через D. Произвольная окружность с центром B пересекает первую окружность в точках M₁, N₁, а вторую – в точках M₂, N₂. Чему равно отношение M₁N₁ : M₂N₂?

Прислать комментарий

Решение

Задача 115624

Темы:	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Токарев С.И.

Дан треугольник ABC, AA₁, BB₁ и CC₁ – его биссектрисы. Известно, что величины углов A, B и C относятся как 4 : 2 : 1. Докажите, что A₁B₁ = A₁C₁.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115674

Темы:	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Равные треугольники. Признаки равенства (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

В параллелограмме ABCD, не являющемся ромбом, проведена биссектриса угла BAD. K и L – точки её пересечения с прямыми BC и CD соответственно. Докажите, что центр окружности, проведённой через точки C, K и L, лежит на окружности, проведённой через точки B, C и D.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116193

Темы:	[	Четырехугольная пирамида	]
	[	Сфера, вписанная в пирамиду	]
	[	Равные треугольники. Признаки равенства (прочее)	]
	[	Сечения, развертки и остовы (прочее)	]
	[	Перегруппировка площадей	]
	[	Площадь четырехугольника	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Волчкевич М.А.

B пирамиду, основанием которой служит параллелограмм, можно вписать сферу.
Докажите, что суммы площадей её противоположных боковых граней равны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116636

Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Шмаров В.

Пусть ABC – правильный треугольник. На его стороне AC выбрана точка T, а на дугах AB и BC его описанной окружности выбраны точки M и N соответственно так, что MT || BC и NT || AB. Отрезки AN и MT пересекаются в точке X, а отрезки CM и NT – в точке Y. Докажите, что периметры многоугольников AXYC и XMBNY равны.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 60 61 62 63 64 65 66 >> [Всего задач: 352]