Дана пирамида ABCD . Сфера касается плоскостей ABC , ACD и ADB в точках K , L и M соответственно. При этом точка K находится на стороне BC , точка L – на стороне CD , точка M – на стороне DB . Известно, что радиус сферы равен , BAC = 90^o , CAD = 75^o , DAB = 75^o . Найдите объём пирамиды.

   Решение

Хулиганы Вася и Петя порвали стенгазету, причём Петя рвал каждый кусок на 5 частей, а Вася на 9. При попытке собрать стенгазету нашли 1988 обрывков. Докажите, что нашли не все кусочки.

   Решение

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a, боковое ребро равно b. Найдите радиус шара, касающегося плоскости основания и боковых рёбер пирамиды.

   Решение

Кащей Бессмертный загадывает три двузначных числа: a, b, c. Иван Царевич должен назвать ему три числа: X, Y, Z, после чего Кащей сообщает ему сумму aX + bY + cZ. Царевич должен отгадать задуманные числа, иначе ему отрубят голову. Какие числа он должен загадать, чтобы остаться в живых?

   Решение

Докажите, что при центральной симметрии окружность переходит в окружность.

   Решение

Расположите в кружочках (вершинах правильного десятиугольника) числа от 1 до 10 так, чтобы для любых двух соседних чисел их сумма была равна сумме двух чисел, им противоположных (симметричных относительно центра окружности).

   Решение

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD боковое ребро равно a и равно диагонали основания ABCD . Через точку A параллельно прямой BD проведена плоскость P , образующая с прямой AD угол, равный arcsin . Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью P и радиус шара, касающегося плоскости P и четырёх прямых, которым принадлежат боковые рёбра пирамиды.

   Решение

Круг разделен на 6 секторов, в котором по часовой стрелке стоят числа 1,0,1,0,0,0. Можно прибавлять по единице к любым числам, стоящим в двух соседних секторах. Можно ли сделать все числа равными?

   Решение

На волшебной яблоне выросли 15 бананов и 20 апельсинов. Одновременно разрешается срывать один или два плода. Если сорвать один из плодов вырастет такой же, если сорвать сразу два одинаковых плода – вырастет апельсин, а если два разных – вырастет банан.
  а) В каком порядке надо срывать плоды, чтобы на яблоне остался ровно один плод?
  б) Можете ли вы определить, какой это будет плод?
  в) Можно ли срывать плоды так, чтобы на яблоне ничего не осталось?

   Решение

У выпуклого многогранника одна вершина A имеет степень 5, а все остальные – степень 3. Назовём раскраску рёбер многогранника в синий, красный и лиловый цвета хорошей, если для каждой вершины степени 3 все выходящие из нее ребра покрашены в разные цвета. Оказалось, что количество хороших раскрасок не делится на 5. Докажите, что в одной из хороших раскрасок какие-то три последовательных ребра, выходящие из A , покрашены в один цвет.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 17]      

Доказать, что в вершинах многогранника можно расставить натуральные числа так, что в каждых двух вершинах, соединённых ребром, стоят числа не взаимно простые, а в каждых двух вершинах, не соединённых ребром, взаимно простые.
Примечание: простых чисел бесконечно много.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что из шести ребер тетраэдра можно сложить два треугольника.

Прислать комментарий

Решение

У выпуклого многогранника одна вершина A имеет степень 5, а все остальные – степень 3. Назовём раскраску рёбер многогранника в синий, красный и лиловый цвета хорошей, если для каждой вершины степени 3 все выходящие из нее ребра покрашены в разные цвета. Оказалось, что количество хороших раскрасок не делится на 5. Докажите, что в одной из хороших раскрасок какие-то три последовательных ребра, выходящие из A , покрашены в один цвет.

Прислать комментарий

Решение

а) Дан кусок проволоки длиной 120 см. Можно ли, не ломая проволоки, изготовить каркас куба с ребром 10 см?
б) Какое наименьшее число раз придется ломать проволоку, чтобы всё же изготовить требуемый каркас?

Прислать комментарий

Решение

а) Из какого минимального числа кусков проволоки можно спаять каркас куба?
б) Какой максимальной длины кусок проволоки можно вырезать из этого каркаса? (Длина ребра куба равна 1 см.)

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 17]