В треугольнике провели серединные перпендикуляры к его сторонам и измерили их отрезки, лежащие внутри треугольника.
  а) Все три отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равносторонний?
  б) Два отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равнобедренный?
  в) Могут ли длины отрезков равняться 4, 4 и 3?

   Решение

Игрок на компьютере управляет лисой, охотящейся за двумя зайцами. В вершине A квадрата ABCD находится нора: если в нее, в отсутствие лисы, попадает хотя бы один заяц, то игра проиграна. Лиса ловит зайца, как только оказывается с ним в одной точке (возможно, в точке A ). Вначале лиса сидит в точке C , а зайцы – в точках B и D . Лиса бегает повсюду со скоростью не больше v , а зайцы – по лучам AB и AD со скоростью не больше 1. При каких значениях v лиса сможет поймать обоих зайцев?

   Решение

Натуральные числа покрашены в N цветов. Чисел каждого цвета бесконечно много. Известно, что цвет полусуммы двух различных чисел одной чётности зависит только от цветов слагаемых.
  а) Докажите, что полусумма чисел одной чётности одного цвета всегда окрашена в тот же цвет.
  б) При каких N такая раскраска возможна?

   Решение

У игрока есть m золотых и n серебряных монет. В начале каждого раунда игрок ставит какие-то монеты на красное, какие-то на чёрное (можно вообще ничего не ставить на один из цветов, часть монет можно никуда не ставить). В конце каждого раунда крупье объявляет, что один из цветов выиграл. Ставку на выигравший цвет крупье отдаёт игроку, удваивая в ней количество монет каждого вида, а ставку на проигравший цвет забирает себе. Игрок хочет, чтобы монет одного вида у него стало ровно в три раза больше, чем другого (в частности, его устроит остаться совсем без денег). При каких m и n крупье не сможет ему помешать?

   Решение

Покажите, что существует выпуклая фигура, ограниченная дугами окружностей, которую можно разрезать на несколько частей и из них сложить две выпуклые фигуры, ограниченные дугами окружностей.

   Решение

Среди вершин любого ли многогранника можно выбрать четыре вершины тетраэдра, площадь проекции которого на любую плоскость составляет от площади проекции (на ту же плоскость) исходного многогранника: а) больше, чем , б) не меньше, чем , в) не меньше, чем ?

   Решение

На сторонах треугольника ABC внешним образом построены подобные треугольники: Δ A'BC Δ B'CA Δ C'AB . Докажите, что в треугольниках ABC и A'B'C' точки пересечения медиан совпадают.

   Решение

Стороны треугольника равны 17, 17, 30. Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей.

   Решение

На дуге AC описанной окружности правильного треугольника ABC взята точка M, отличная от C, P – середина этой дуги. Пусть N – середина хорды BM, K – основание перпендикуляра, опущенного из точки P на MC. Докажите, что треугольник ANK правильный.

   Решение

Высоты AA₁, BB₁, CC₁ и DD₁ тетраэдра ABCD пересекаются в центре H сферы, вписанной в тетраэдр A₁B₁C₁D₁.
Докажите, что тетраэдр ABCD – правильный.

   Решение

На сторонах AB, AC, BC равностороннего треугольника ABC, сторона которого равна 2, выбрали точки C₁, B₁, A₁ соответственно.
Какое наибольшее значение может принимать сумма радиусов окружностей, вписанных в треугольники AB₁C₁, A₁BC₁, A₁B₁C.

   Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 243]      

Внутри треугольника ABC взята точка P так, что  ∠ABP = ∠ACP,  а  ∠CBP = ∠CAP. Докажите, что P – точка пересечения высот треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AH_A, BH_B и CH_C.
Докажите, что треугольник с вершинами в ортоцентрах треугольников AH_BH_C, BH_AH_C и CH_AH_B равен треугольнику H_AH_BH_C.

Прислать комментарий

Решение

Вокруг остроугольного треугольника ABC описана окружность. Продолжения высот треугольника, проведённых из вершин A и C, пересекают окружность в точках E и F соответственно, D произвольная точка на (меньшей) дуге AC, K – точка пересечения DF и AB, L – точка пересечения DE и BC. Докажите, что прямая KL проходит через ортоцентр треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁ и CC₁. На отрезке A₁C₁ выбрали такие точки A₂ и C₂, что отрезок B₁A₂ делится высотой CC₁ пополам и пересекает высоту AA₁ в точке K, а отрезок B₁C₂ делится высотой AA₁ пополам и пересекает высоту CC₁ в точке L. Докажите, что KL || AC.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах AB, AC, BC равностороннего треугольника ABC, сторона которого равна 2, выбрали точки C₁, B₁, A₁ соответственно.
Какое наибольшее значение может принимать сумма радиусов окружностей, вписанных в треугольники AB₁C₁, A₁BC₁, A₁B₁C.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 243]