В треугольнике ABC точка D – середина стороны AB . Можно ли так расположить точки E и F на сторонах AC и BC соответственно, чтобы площадь треугольника DEF оказалась больше суммы площадей треугольников AED и BFD ?

   Решение

Ножки циркуля находятся в узлах бесконечного листа клетчатой бумаги, клетки которого – квадраты со стороной 1. Разрешается, не меняя раствора циркуля, поворотом его вокруг одной из ножек перемещать вторую ножку в другой узел на листе. Можно ли за несколько таких шагов поменять ножки циркуля местами?

   Решение

Дана равнобокая трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Окружность ω проходит через вершины B и C и вторично пересекает сторону AB и диагональ BD в точках X и Y соответственно. Касательная, проведённая к окружности ω в точке C, пересекает луч AD в точке Z. Докажите, что точки X, Y и Z лежат на одной прямой.

   Решение

На стороне AB четырёхугольника ABCD взяты точки A₁ и B₁, а на стороне CD – точки C₁ и D₁, причём  AA₁ = BB₁ = pAB  и  CC₁ = DD₁ = pCD,  где
p < ½.  Докажите, что  S_A1B1C1D1 = (1 – 2p)S_ABCD.

   Решение

Диагонали четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$, причём $S^2_{\Delta ABP} + S^2_{\Delta CDP} = S^2_{\Delta BCP} + S^2_{\Delta ADP}$. Докажите, что $P$ — середина одной из диагоналей.

   Решение

В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит ромб ABCD с острым углом при вершине A . Высота ромба равна 4, точка пересечения его диагоналей является ортогональной проекцией вершины S на плоскость основания. Сфера радиуса 2 касается плоскостей всех граней пирамиды. Найдите объём пирамиды, если расстояние от центра сферы до прямой AC равно AB .

   Решение

Дана треугольная пирамида ABCD . Скрещивающиеся рёбра AC и BD этой пирамиды перпендикулярны. Также перпендикулярны скрещивающиеся ребра AD и BC , а AB = CD . Все рёбра этой пирамиды касаются шара радиуса r . Найдите площадь грани ABC .

   Решение

Высота пирамиды ABCD , опущенная из вершины D , проходит через точку пересечения высот треугольника ABC . Кроме того, известно, что DB = b , DC = c , BDC = 90^o . Найдите отношение площадей граней ADB и ADC .

   Решение

На сторонах АВ, ВС и СА равностороннего треугольника АВС выбраны точки D, E и F соответственно так, что  DE || АC,  DF || BС.
Найдите угол между прямыми AЕ и BF.

   Решение

На сторонах AB и CD выпуклого четырёхугольника ABCD даны точки E и H соответственно. Докажите, что если треугольники ABH и CDE равновелики и AE:BE=DH:CH , то прямая BC параллельна прямой AD .

   Решение

Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 464]      

В треугольнике ABC точка D – середина стороны AB . Можно ли так расположить точки E и F на сторонах AC и BC соответственно, чтобы площадь треугольника DEF оказалась больше суммы площадей треугольников AED и BFD ?

Прислать комментарий

Решение

На стороне AB четырёхугольника ABCD взяты точки A₁ и B₁, а на стороне CD – точки C₁ и D₁, причём  AA₁ = BB₁ = pAB  и  CC₁ = DD₁ = pCD,  где
p < ½.  Докажите, что  S_A1B1C1D1 = (1 – 2p)S_ABCD.

Прислать комментарий

Решение

Выпуклый четырёхугольник разбит диагоналями на четыре треугольника, площади которых выражаются целыми числами. Докажите, что произведение этих чисел предвтавляет собой точный квадрат.

Прислать комментарий

Решение

Диагонали четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$, причём $S^2_{\Delta ABP} + S^2_{\Delta CDP} = S^2_{\Delta BCP} + S^2_{\Delta ADP}$. Докажите, что $P$ — середина одной из диагоналей.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах AB и CD выпуклого четырёхугольника ABCD даны точки E и H соответственно. Докажите, что если треугольники ABH и CDE равновелики и AE:BE=DH:CH , то прямая BC параллельна прямой AD .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 464]