Доказать, что  1155¹⁹⁵⁸ + 34¹⁹⁵⁸ ≠ n²,  где n – целое.

   Решение

Через вершины треугольника ABC проводятся три произвольные параллельные прямые d_a, d_b, d_c. Прямые, симметричные d_a, d_b, d_c относительно BC, CA, AB соответственно, образуют треугольник XYZ. Найдите геометрическое место центров вписанных окружностей таких треугольников.

   Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 69]      

Через вершины треугольника ABC проводятся три произвольные параллельные прямые d_a, d_b, d_c. Прямые, симметричные d_a, d_b, d_c относительно BC, CA, AB соответственно, образуют треугольник XYZ. Найдите геометрическое место центров вписанных окружностей таких треугольников.

Прислать комментарий

Решение

Пусть B' — точка описанной окружности остроугольного треугольника ABC , диаметрально противоположная вершине B ; I — центр вписанной окружности треугольника ABC ; M — точка касания вписанной окружности со стороной AC . На сторонах AB и BC выбраны соответственно точки K и L , причём KB=MC и LB=AM . Докажите, что прямые B'I и KL перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

Стороны BC и AC треугольника ABC касаются соответствующих вневписанных окружностей в точках A₁ , B₁ . Пусть A₂ , B₂ — ортоцентры треугольников CAA₁ и CBB₁ . Докажите, что прямая A₂B₂ перпендикулярна биссектрисе угла C .

Прислать комментарий

Решение

Вершины равнобедренного треугольника и центр его описанной окружности лежат на четырёх различных сторонах квадрата.
Найдите углы треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Квадрат со стороной 1 разрезали на прямоугольники, у каждого из которых отметили одну сторону.
Докажите, что сумма длин всех отмеченных сторон не может быть меньше 1.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 69]