Каталог по темам

Задачи

Страница: << 96 97 98 99 100 101 102 >> [Всего задач: 829]

Задача 115878

Темы:	[	Четырехугольники (прочее)	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Решение задач при помощи аффинных преобразований	]
	[	Аналитический метод в геометрии	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Нилов Ф.

Дан четырёхугольник ABCD, противоположные стороны которого пересекаются в точках P и Q. Две прямые, проходящие через эти точки, пересекают стороны четырёхугольника в четырёх точках, являющихся вершинами параллелограмма. Докажите, что центр этого параллелограмма лежит на прямой, соединяющей середины диагоналей ABCD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64471

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Преобразования плоскости (прочее)	]
	[	Теорема синусов	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Ивлев Ф.

Вписанная в треугольник ABC окружность касается сторон BC, CA, AB в точках A', B', C' соответственно. Перпендикуляр, опущенный из центра I этой окружности на медиану CM, пересекает прямую A'B' в точке K. Докажите, что CK || AB.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64474

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Прокопенко Д.

а) Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон AC и AB в точках B₀ и C₀ соответственно. Биссектрисы углов B и C треугольника ABC пересекают серединный перпендикуляр к биссектрисе AL в точках Q и P соответственно. Докажите, что прямые PC₀ и QB₀ пересекаются на прямой BC.

б) В треугольнике ABC провели биссектрису AL. Точки O₁ и O₂ – центры описанных окружностей треугольников ABL и ACL соответственно. Точки B₁ и C₁ – проекции вершин C и B на биссектрисы углов B и C соответственно. Докажите, что прямые O₁C₁ и O₂B₁ пересекаются на прямой BC.

в) Докажите, что точки, полученные в пп. а) и б), совпадают.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66658

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Тахаев С.

Окружности $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ касаются друг друга внешним образом и касаются изнутри окружности $\Omega$ в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$ соответственно. Общая внутренняя касательная к $\alpha$ и $\beta$ пересекает не содержащую $C_1$ дугу $A_1B_1$ в точке $C_2$. Точки $A_2$, $B_2$ определяются аналогично. Докажите, что прямые $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 67228

Темы:	[	Кривые второго порядка	]
Темы:	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Марданов А.

Эллипс $\Gamma_1$ c фокусами в серединах сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ проходит через вершину $A$, а эллипс $\Gamma_2$ c фокусами в серединах сторон $AC$ и $BC$ проходит через вершину $C$. Докажите, что точки пересечения этих эллипсов и ортоцентр треугольника $ABC$ лежат на одной прямой.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 96 97 98 99 100 101 102 >> [Всего задач: 829]