Каталог по темам

Задачи

Страница: << 65 66 67 68 69 70 71 >> [Всего задач: 569]

Задача 67233

Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
Темы:	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Автор: Заславский А.А.

В остроугольном треугольнике $ABC$ $O$ – центр описанной окружности, $BM$ – медиана, $BH$ – высота. Окружности $AOB$ и $BHC$ повторно пересекаются в точке $E$, а окружности $AHB$ и $BOC$ – в точке $F$. Докажите, что $ME=MF$.

Прислать комментарий Решение

Задача 116116

Темы:	[	Композиции поворотов	]
Темы:	[	Композиции симметрий	]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Докажите, что композиция двух поворотов на углы, в сумме не кратные 360^o , является поворотом.
В какой точке находится его центр и чему равен угол поворота?
Исследуйте также случай, когда сумма углов поворотов кратна 360^o .

Прислать комментарий Решение

Задача 55563

[Задача Фаньяно]

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Симметриия и неравенства и экстремумы	]
	[	Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Впишите в данный остроугольный треугольник $ABC$ треугольник наименьшего периметра.

Прислать комментарий Решение

Задача 58134

Темы:	[	Выпуклые и невыпуклые фигуры (прочее)	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Перенос стороны, диагонали и т.п.	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Площадь многоугольника	]

Сложность: 6+
Классы: 9,10,11

Докажите, что при симметризации по Штейнеру площадь многоугольника не изменяется, а его периметр не увеличивается.

Прислать комментарий Решение

Задача 110755

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Биссектриса делит дугу пополам	]
	[	Композиции движений. Теорема Шаля	]
	[	Композиция центральных симметрий	]
	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]

Сложность: 7-
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром O . Точки C' , D' симметричны ортоцентрам треугольников ABD и ABC относительно O . Докажите, что если прямые BD и BD' симметричны относительно биссектрисы угла B , то прямые AC и AC' симметричны относительно биссектрисы угла A .

Прислать комментарий Решение

Страница: << 65 66 67 68 69 70 71 >> [Всего задач: 569]