Каталог по темам

Задачи

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 88]

Задача 116120

Темы:	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Шестиугольники	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Пусть M и N – середины сторон CD и DE правильного шестиугольника ABCDEF. Найдите угол между прямыми AM и BN.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116187

Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Шестиугольники	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Кукушкин Б.Н.

Дан шестиугольник ABCDEF, в котором AB = BC, CD = DE, EF = FA, а углы A и C — прямые. Докажите, что прямые FD и BE перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115609

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Перегруппировка площадей	]
	[	Шестиугольники	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Дан выпуклый шестиугольник, каждая диагональ которого, соединяющая противоположные вершины, делит его площадь пополам.
Докажите, что эти диагонали пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73538

Темы:	[	Раскраски	]
	[	Целочисленные решетки	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Шестиугольники	]
	[	Правильные многоугольники	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Колмогоров А.Н.

   а) На рис. 1 плоскость покрыта квадратами пяти цветов. Центры квадратов одного и того же цвета расположены в вершинах сетки из одинаковых квадратов. При каком числе n цветов возможно аналогичное заполнение плоскости?

   б) На рис. 2 плоскость покрыта шестиугольниками семи цветов так, что центры шестиугольников одного и того же цвета образуют вершины решётки из одинаковых правильных треугольников. При каком числе n цветов возможно аналогичное построение?

   Примечание. Имеются в виду только такие заполнения плоскости фигурками (квадратами или шестиугольниками), при котором сетка, соответствующая какому-то одному цвету, имеет такие же размеры и направления сторон квадратов (или треугольников), как и сетка, соответствующая любому другому цвету (то есть все сетки должны получаться друг из друга параллельным сдвигом).

Прислать комментарий

Решение

Задача 58396

[Неравенство Птолемея]

Темы:	[	Теорема Птолемея	]
	[	Комплексные числа в геометрии	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Шестиугольники	]

Сложность: 7-
Классы: 9,10,11

а) Докажите, что если A, B, C и D — произвольные точки плоскости, то AB^.CD + BC^.AD $\ge$ AC^.BD (неравенство Птолемея).
б) Докажите, что если A₁, A₂, ...A₆ — произвольные точки плоскости, то

$\begin{multline*} A_1A_4\cdot A_2A_5\cdot A_3A_6\le A_1A_2\cdot A_3A_6\cdot A_... ...+A_2A_3\cdot A_4A_5\cdot A_1A_6+A_3A_4\cdot A_2A_5\cdot A_1A_6. \end{multline*}$

в) Докажите, что (нестрогое) неравенство Птолемея обращается в равенство тогда и только тогда, когда ABCD — (выпуклый) вписанный четырехугольник.
г) Докажите, что неравенство из задачи б) обращается в равенство тогда и только тогда, когда A₁...A₆ — вписанный шестиугольник.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 88]