Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 8 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Ненулевые числа a, b, c таковы, что каждые два из трёх уравнений  ax11 + bx4 + c = 0,  bx11 + cx4 + a = 0,  cx11 + ax4 + b = 0  имеют общий корень. Докажите, что все три уравнения имеют общий корень.

Вниз   Решение


На плоскости задано n точек, являющихся вершинами выпуклого n-угольника,  n > 3.  Известно, что существует ровно k равносторонних треугольников со стороной 1, вершины которых – заданные точки.
  а) Докажите, что  k < 2n/3.
  б) Приведите пример конфигурации, для которой  k > 0,666n.

ВверхВниз   Решение


На доске нарисован выпуклый 2011-угольник. Петя последовательно проводит в нём диагонали так, чтобы каждая вновь проведённая диагональ пересекала по внутренним точкам не более одной из проведённых ранее диагоналей. Какое наибольшее количество диагоналей может провести Петя?

ВверхВниз   Решение


Точка X, лежащая вне непересекающихся окружностей ω1 и ω2, такова, что отрезки касательных, проведённых из X к ω1 и ω2, равны. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника, образованного точками касания, совпадает с точкой пересечения общих внутренних касательных к ω1 и ω2.

ВверхВниз   Решение


Прямоугольный лист бумаги согнули, совместив вершину с серединой противоположной короткой стороны (см. рис.). Оказалось, что треугольники I и II равны. Найдите длинную сторону прямоугольника, если короткая равна 8.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что при всех $x$, $0 < x < \pi/3$, справедливо неравенство $\sin 2x + \cos x > 1$.

ВверхВниз   Решение


Постройте треугольник, если даны центр вписанной в него окружности, середина одной из сторон и основание опущенной на эту сторону высоты.

ВверхВниз   Решение


Дан треугольник ABC. Tочки A1, B1 и C1 симметричны его вершинам относительно противоположных сторон. C2 – точка пересечения прямых AB1 и BA1, точки A2 и B2 определяются аналогично. Докажите, что прямые A1A2, B1B2 и C1C2 параллельны.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 15]      



Задача 116188

Темы:   [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
[ Окружность Аполлония ]
[ Подобные треугольники (прочее) ]
[ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ]
[ Изогональное сопряжение ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

В окружность вписан треугольник ABC. Постройте такую точку P, что точки пересечения прямых AP, BP и CP с данной окружностью являются вершинами равностороннего треугольника.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116170

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
[ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Дан треугольник ABC. Tочки A1, B1 и C1 симметричны его вершинам относительно противоположных сторон. C2 – точка пересечения прямых AB1 и BA1, точки A2 и B2 определяются аналогично. Докажите, что прямые A1A2, B1B2 и C1C2 параллельны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116754

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Зайцева Ю.

Касательные, проведённые к описанной окружности остроугольного треугольника ABC в точках A и C, пересекаются в точке Z. AA1, CC1 – высоты. Прямая A1C1 пересекает прямые ZA, ZC в точках X и Y соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников ABC и XYZ касаются.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109643

Темы:   [ Сфера, вписанная в тетраэдр ]
[ Развертка помогает решить задачу ]
[ Теорема о трех перпендикулярах ]
[ Правильный тетраэдр ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11

Сфера, вписанная в тетраэдр, касается одной из его граней в точке пересечения биссектрис, другой – в точке пересечения высот, третьей – в точке пересечения медиан. Докажите, что тетраэдр правильный.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110768

Темы:   [ Построение треугольников по различным элементам ]
[ Гомотетичные окружности ]
[ Гомотетия: построения и геометрические места точек ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
[ Формула Эйлера ]
[ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ]
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Постройте треугольник, если даны центр вписанной в него окружности, середина одной из сторон и основание опущенной на эту сторону высоты.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 15]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .