Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 9 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Трушин Б.

Сколько раз функция   f(x) = cos x cos x/2 cos x/3 ... cos x/2009   меняет знак на отрезке  [0, 2009π/2] ?

Вниз   Решение


Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с его рёбрами углы α , β и γ . Докажите, что cos2α + cos2β + cos2γ = 1 .

ВверхВниз   Решение


Автор: Бахарев Ф.

Окружность с центром I , вписанная в грань ABC треугольной пирамиды SABC , касается отрезков AB , BC , CA в точках D , E , F соответственно. На отрезках SA , SB , SC отмечены соответственно точки A' , B' , C' так, что AA'=AD , BB'=BE , CC'=CF ; S' – точка на описанной сфере пирамиды, диаметрально противоположная точке S . Известно, что SI является высотой пирамиды. Докажите, что точка S' равноудалена от точек A' , B' , C' .

ВверхВниз   Решение


Составьте уравнение окружности, проходящей через точки A(- 2;1), B(9;3) и C(1;7).

ВверхВниз   Решение


Даны точки A(0;0), B(4;0) и C(0;6). Составьте уравнение окружности, описанной около треугольника ABC.

ВверхВниз   Решение


Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне.

ВверхВниз   Решение


Все попарные расстояния между четырьмя точками в пространстве равны 1. Найдите расстояние от одной из этих точек до плоскости, определяемой тремя другими.

ВверхВниз   Решение


Автор: Храбров А.

Докажите неравенство   sinn2x + (sinnx – cosnx)² ≤ 1.

ВверхВниз   Решение


B остроугольном треугольнике ровно один из углов равен 60°. Докажите, что прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку пересечения медиан треугольника, отсекает от него равносторонний треугольник.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 70]      



Задача 116201

Темы:   [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
[ Частные случаи треугольников (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9

B остроугольном треугольнике ровно один из углов равен 60°. Докажите, что прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку пересечения медиан треугольника, отсекает от него равносторонний треугольник.

Прислать комментарий     Решение

Задача 52511

 [Окружность девяти точек]
Темы:   [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Докажите, что основания высот, середины сторон и середины отрезков от ортоцентра до вершин треугольника лежат на одной окружности.

Прислать комментарий     Решение


Задача 55595

 [Прямая Эйлера]
Темы:   [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

Докажите, что в любом треугольнике точка H пересечения высот (ортоцентр), центр O описанной окружности и точка M пересечения медиан (центр тяжести) лежат на одной прямой, причём точка M расположена между точками O и H, и MH = 2MO.

Прислать комментарий     Решение


Задача 56960

Тема:   [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
Сложность: 5
Классы: 9

Какие стороны пересекает прямая Эйлера в остроугольном и тупоугольном треугольниках?
Прислать комментарий     Решение


Задача 56961

Тема:   [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
Сложность: 5
Классы: 9

а) Докажите, что описанная окружность треугольника ABC является окружностью девяти точек для треугольника, образованного центрами вневписанных окружностей треугольника ABC.
б) Докажите, что описанная окружность делит пополам отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 70]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .