Каталог по темам

Задачи

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 105]

Задача 116245

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
Темы:	[	Тождественные преобразования	]

Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Автор: Мурашкин М.В.

Существуют ли такие натуральные числа a, b, c, d, что a³ + b³ + c³ + d³ = 100¹⁰⁰ ?

Прислать комментарий

Решение

Задача 116584

Темы:	[	Числовые неравенства. Сравнения чисел.	]
Темы:	[	Тождественные преобразования	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Автор: Богданов И.И.

Числа a и b таковы, что a³ – b³ = 2, a⁵ – b⁵ ≥ 4. Докажите, что a² + b² ≥ 2.

Прислать комментарий

Решение

Задача 35276

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Тождественные преобразования	]
	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10

Известно, что число 2n для некоторого натурального n является суммой двух точных квадратов.
Докажите, что n также является суммой двух точных квадратов.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60504

Темы:	[	Алгоритм Евклида	]
	[	Тождественные преобразования	]
	[	Обыкновенные дроби	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

При каких целых $n$ число
а) $\frac{n^4+3}{n^2+n+1}$; б) $\frac{n^3+n+1}{n^2-n+1}$ также будет целым?

Прислать комментарий

Решение

Задача 60943

Темы:	[	Исследование квадратного трехчлена	]
	[	Тождественные преобразования	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Докажите, что корни уравнения
а) (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – a)(x – c) = 0;
б) c(x – a)(x – b) + a(x – b)(x – c) + b(x – a)(x – c) = 0
всегда вещественные.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 105]