ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Версия для печати
Убрать все задачи Найдите длину кратчайшего пути по поверхности единичного правильного тетраэдра между серединами его противоположных рёбер. В треугольнике провели серединные перпендикуляры к его сторонам и измерили их отрезки, лежащие внутри треугольника. Какие треугольники можно разрезать на три треугольника с равными радиусами описанных окружностей? В треугольнике ABC отметили центр вписанной окружности, основание высоты, опущенной на сторону AB, и центр вневписанной окружности, касающейся этой стороны и продолжений двух других. После этого сам треугольник стёрли. Восстановите его. Аудитория имеет форму правильного шестиугольника со стороной 3 м. В каждом углу установлен храпометр, определяющий число спящих студентов на расстоянии, не превышающем 3 м. Сколько всего спящих студентов в аудитории, если сумма показаний храпометров равна 7?
В треугольнике ABC медиана AK пересекает медиану BD в точке L. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь четырёхугольника KCDL равна 5.
В выпуклом четырёхугольнике ABCD ∠B = ∠D, а центр описанной окружности треугольника ABC, ортоцентр треугольника ADC и вершина B лежат на одной прямой. Докажите, что ABCD – параллелограмм. Докажите, что в правильной треугольной пирамиде двугранный угол между боковыми гранями больше чем 60°. Дан равносторонний треугольник АВС. Точка К – середина стороны АВ, точка М лежит на стороне ВС, причём ВМ : МС = 1 : 3. На стороне АС выбрана точка P так, что периметр треугольника РКМ – наименьший из возможных. В каком отношении точка Р делит сторону АС? Маленький Петя подпилил все ножки у квадратной табуретки и четыре отпиленных кусочка потерял. Оказалось, что длины всех кусочков различны, и что табуретка после этого стоит на полу, пусть наклонно, но по-прежнему касаясь пола всеми четырьмя концами ножек. Дедушка решил починить табуретку, однако нашёл только три кусочка с длинами 8, 9 и 10 см. Какой длины может быть четвёртый кусочек? На плоскости дано k точек, расположенных так, что на каждой прямой, соединяющей две из этих точек, лежит по крайней мере ещё одна из них. Доказать, что все k точек лежат на одной прямой. Внутри треугольника ABC на биссектрисе его угла B выбрана такая точка M, что AM = AC и ∠BCM = 30°. Докажите, что ∠AMB = 150°. Числа a и b таковы, что a³ – b³ = 2, a5 – b5 ≥ 4. Докажите, что a² + b² ≥ 2. |
Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 105]
Существуют ли такие натуральные числа a, b, c, d, что a³ + b³ + c³ + d³ = 100100 ?
Числа a и b таковы, что a³ – b³ = 2, a5 – b5 ≥ 4. Докажите, что a² + b² ≥ 2.
Известно, что число 2n для некоторого натурального n является суммой двух точных квадратов.
При каких целых $n$ число
Докажите, что корни уравнения
Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 105]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке