Каталог по темам

Задачи

Страница: << 39 40 41 42 43 44 45 >> [Всего задач: 257]

Задача 116526

Темы:	[	Cкрещивающиеся прямые, угол между ними	]
	[	Касающиеся сферы	]
	[	Касательные к сферам	]
	[	Прямоугольные параллелепипеды	]

Сложность: 3
Классы: 10,11

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ четыре числа – длины рёбер и диагонали AC₁ – образуют арифметическую прогрессию с положительной разностью d, причём AD < AB < AA₁. Две внешне касающиеся друг друга сферы одинакового неизвестного радиуса R расположены так, что их центры лежат внутри параллелепипеда, причём первая сфера касается граней ABB₁A₁, ADD₁A₁, ABCD, а вторая – граней BCC₁B₁, CDD₁C₁, A₁B₁C₁D₁. Найдите: а) длины рёбер параллелепипеда; б) угол между прямыми CD₁ и AC₁; в) радиус R.

Прислать комментарий

Решение

Задача 35073

Темы:	[	Пространственные многоугольники	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Касательные к сферам	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Стороны AB, BC, CD, DA пространственного четырёхугольника ABCD касаются некоторой сферы в точках K, L, M, N соответственно.
Докажите, что точки K, L, M, N лежат в одной плоскости.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116916

Темы:	[	Тетраэдр (прочее)	]
	[	Перпендикулярность прямой и плоскости (прочее)	]
	[	Сферы (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Автор: Ясинский В.

Дан тетраэдр ABCD. Точка X выбрана вне тетраэдра так, что отрезок XD пересекает грань ABC во внутренней точке. Обозначим через A', B', C' проекции точки D на плоскости XBC, XCA, XAB соответственно. Докажите, что A'B' + B'C' + C'A' < DA + DB + DC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115389

Темы:	[	Неравенства с объемами	]
	[	Объем тела равен сумме объемов его частей	]
	[	Касающиеся сферы	]
	[	Шар и его части	]
	[	Объем шара, сегмента и проч.	]
	[	Взвешивания	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

На левую чашу весов положили два шара радиусов 3 и 5, а на правую — один шар радиуса 8. Какая из чаш перевесит? (Все шары изготовлены целиком из одного и того же материала.)

Прислать комментарий Решение

Задача 64447

Темы:	[	Наглядная геометрия в пространстве	]
	[	Куб	]
	[	Сфера, касающаяся ребер угла	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Бакаев Е.В.

Космический аппарат сел на неподвижный астероид, про который известно только, что он представляет собой шар или куб. Аппарат проехал по поверхности астероида в точку, симметричную начальной относительно центра астероида. Всё это время он непрерывно передавал свои пространственные координаты на космическую станцию, и там точно определили трёхмерную траекторию аппарата. Может ли этого оказаться недостаточно, чтобы отличить, по кубу или по шару ездил аппарат?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 39 40 41 42 43 44 45 >> [Всего задач: 257]