Подтемы:
-
Пересекающиеся сферы
(3 задачи)
Касательные к сферам
(109 задач)
Касающиеся сферы
(85 задач)
Сфера, вписанная в двугранный угол
(33 задачи)
Сфера, вписанная в трехгранный угол
(21 задача)
Сфера, вписанная в многогранный угол
(2 задачи)
Сфера, касающаяся ребер угла
(7 задач)
Окружности на сфере
(17 задач)
Радикальная плоскость
(2 задачи)
Сферическая геометрия и телесные углы
(2 задачи)
Сферы (прочее)
(36 задач)
Фильтр
Задачи
Страница: << 41 42 43 44 45 46 47 >> [Всего задач: 260]
В усеченную треугольную пирамиду вписана сфера, касающаяся оснований в точках $T_1$, $T_2$. Пусть $h$ – высота пирамиды, $R_1$, $R_2$ – радиусы окружностей, описанных около ее оснований, $O_1$, $O_2$ – центры этих окружностей. Докажите, что
$$
R_1R_2h^2=(R_1^2-O_1T_1^2)(R_2^2-O_2T_2^2).
$$
На рёбрах произвольного тетраэдра выбрано по точке. Через каждую тройку точек,
лежащих на рёбрах с общей вершиной, проведена плоскость. Докажите, что если
три из четырёх проведённых плоскостей касаются вписанного в тетраэдр шара, то
и четвёртая плоскость также его касается.
Женя красила шарообразное яйцо последовательно в пяти
красках, погружая его в стакан с очередной краской так, чтобы
окрашивалась ровно половина площади поверхности яйца (полсферы).
В результате яйцо окрасилось полностью. Докажите, что одна из красок
была лишней, то есть если бы Женя не использовала эту краску, а в
другие краски погружала бы яйцо так же, то оно всё равно окрасилось бы
полностью.
Страница: << 41 42 43 44 45 46 47 >> [Всего задач: 260]
Задача 77916[77916] |
|
|
Около сферы описан пространственный четырёхугольник. Докажите, что четыре точки касания лежат в одной плоскости.
|
|
|
Решение |
Задача 66912 |
|
|
Дано целое $n>2$. На сфере радиуса 1 требуется расположить $n$ попарно не пересекающихся дуг больших окружностей, все дуги равной длины $\alpha$. Докажите, что
а) при любом $\alpha<\pi+\frac{2\pi}n$ это возможно;
б) при любом $\alpha>\pi+\frac{2\pi}n$ это невозможно.
|
|
|
Решение |
Задача 66960 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 79564 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66494 |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 41 42 43 44 45 46 47 >> [Всего задач: 260]
