- Книги, журналы, Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В., Ленинградские математические кружки, глава 15. Системы счисления
- Книги, журналы, Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел, глава 5. Числа, дроби, системы счисления
Подтемы:
- Десятичная система счисления (499 задач)
- Двоичная система счисления (54 задачи)
- Троичная система счисления (14 задач)
- Ним-сумма (7 задач)
- Системы счисления (прочее) (20 задач)
Фильтр
Выбрано 30 задач Убрать все задачи
На плоскости расположено n5 окружностей так,
что любые три из них имеют общую точку. Докажите, что
тогда и все окружности имеют общую точку.
На отрезке длиной 1 расположены попарно не пересекающиеся
отрезки, сумма длин которых равна p. Обозначим эту систему
отрезков A. Пусть B — дополнительная система отрезков
(отрезки систем A и B не имеют общих внутренних точек и
полностью покрывают данный отрезок). Докажите, что существует
параллельный перенос T, для которого пересечение B и T(A)
состоит из отрезков, сумма длин которых не меньше p(1 - p)/2.
Два пирата, Билл и Джон, имея каждый по 74 золотые монеты, решили сыграть в такую игру: они по очереди будут выкладывать на стол монеты, за один ход – одну, две или три, а выиграет тот, кто положит на стол сотую по счёту монету. Начинает Билл. Кто может выиграть в такой игре, независимо от того, как будет действовать соперник?
Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел,
не представимых в виде
a) x² + y²; б) x² + y² + z² ; в) x³ + y³ + z³.
Даны точка X и правильный треугольник ABC. Докажите, что из отрезков
XA, XB и XC можно составить треугольник, причем этот треугольник
вырожденный тогда и только тогда, когда точка X лежит на описанной окружности
треугольника ABC (Помпею).
а) Стороны угла с вершиной C касаются окружности
в точках A и B. Из точки P, лежащей на окружности,
опущены перпендикуляры PA1, PB1 и PC1 на прямые BC, CA
и AB. Докажите, что
PC12 = PA1 . PB1 и
PA1 : PB1 = PB2 : PA2.
б) Из произвольной точки O вписанной окружности
треугольника ABC опущены перпендикуляры
OA', OB', OC'
на стороны треугольника ABC и перпендикуляры
OA'', OB'', OC''
на стороны треугольника с вершинами в точках касания.
Докажите, что
OA' . OB' . OC' = OA'' . OB'' . OC''.
Миша стоит в центре круглой лужайке радиуса 100 метров. Каждую минуту он делает шаг длиной 1 метр. Перед каждым шагом он объявляет направление, в котором хочет шагнуть. Катя имеет право заставить его сменить направление на противоположное. Может ли Миша действовать так, чтобы в какой-то момент обязательно выйти с лужайки, или Катя всегда сможет ему помешать?
Через вершины А и С треугольника АВС проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла АВС. Они пересекают прямые СВ и ВА в точках К и М соответственно. Найдите длину АВ, если ВМ = 8 см, KC = 1 см и АВ > ВС.
На прямой дано 50 отрезков. Докажите, что верно хотя бы одно из следующих утверждений:
- некоторые 8 из этих отрезков имеют общую точку;
- некоторые 8 из этих отрезков таковы, что никакие два из них не пересекаются.
Дан треугольник со сторонами 2, 3, 4. Найдите радиус наименьшего круга, из которого можно вырезать этот треугольник.
Барон Мюнхаузен утверждает, что пустил шар от борта бильярда, имеющего форму правильного треугольника, так, что тот, отражаясь от бортов, прошёл через некоторую точку три раза в трёх различных направлениях и вернулся в исходную точку. Могут ли слова барона быть правдой? (Отражение шара от борта происходит по закону "угол падения равен углу отражения".)
Решить в целых числах уравнение x² + y² = 4z – 1.
Коля и Витя играют в следующую игру. На столе лежит куча из 100 камней. Мальчики делают ходы поочерёдно, а начинает Коля. Делая ход, играющий делит каждую кучку, в которой больше одного камня, на две меньшие кучки. Выигрывает тот, кто после своего хода оставляет кучки по одному камню в каждой. Сможет ли Коля сделать так, чтобы выиграть при любой игре Вити?
В четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD перпендикулярны и
пересекаются в точке P . Длина отрезка, соединяющего вершину C с
точкой M , являющейся серединой отрезка AD , равна . Расстояние от
точки P до отрезка BC равно
и AP = 1 . Найдите AD ,
если известно, что вокруг четырёхугольника ABCD можно описать
окружность.
Доказать, что уравнение x² + 1990 = y² не имеет решений в целых числах.
Как разложить по семи кошелькам 127 рублевых бумажек так, чтобы любую сумму от 1 до 127 рублей можно было бы выдать, не открывая кошельков?
Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность радиуса R, причем
AB = CD = EF = R. Докажите, что середины сторон BC, DE и FA образуют
правильный треугольник.
Известно, что в некотором треугольнике медиана,
биссектриса и высота, проведенные из вершины C, делят угол
на четыре равные части. Найдите углы этого треугольника.
Пусть M – центр тяжести (точка пересечения медиан) треугольника ABC. При повороте на 120° вокруг точки M точка B переходит в точку P, при повороте на 240° вокруг точки M (в том же направлении) точка C переходит в точку Q. Докажите, что либо треугольник APQ – правильный, либо точки A, P, Q совпадают.
Сколько имеется четырёхзначных чисел, которые делятся на 45, а две средние цифры у них – 97?
Коля и Витя играют в следующую игру. На столе лежит куча из 31 камня. Мальчики делают ходы поочерёдно, а начинает Коля. Делая ход, играющий делит каждую кучку, в которой больше одного камня, на две меньшие кучки. Выигрывает тот, кто после своего хода оставляет кучки по одному камню в каждой. Сможет ли Коля сделать так, чтобы выиграть при любой игре Вити?
Дан параллелограмм ABCD с острым углом при
вершине A. На лучах AB и CB отмечены точки H и K
соответственно так, что CH = BC и AK = AB. Докажите, что:
а) DH = DK;
б)
DKH
ABK.
В центре квадрата сидит заяц, а в каждом из четырёх углов по одному волку. Может ли заяц выбежать из квадрата, если волки могут бегать только по сторонам квадрата с максимальной скоростью в 1,4 раза большей, чем максимальная скорость зайца?
В обращении есть монеты достоинством в 1, 2, 5, 10, 20, 50 копеек и 1 рубль. Известно, что k монетами можно набрать m копеек.
Докажите, что m монетами можно набрать k рублей.
Какую наименьшую сумму цифр может иметь число вида 3n² + n + 1 при натуральном n?
Докажите, что многочлен P(x) = (xn+1 – 1)(xn+2 – 1)...(xn+m – 1) делится на Q(x) = (x – 1)(x2 – 1)...(xm – 1).
На окружности даны 10 точек. Сколькими способами можно провести пять отрезков, не имеющих общих точек, с концами в данных точках?
Окружность, построенная на стороне треугольника как на диаметре, высекает на двух других сторонах равные отрезки.
Докажите, что треугольник равнобедренный.
На шахматной доске 20×20 стоят 10 ладей и один король. Король не стоит под шахом и идёт из левого угла в правый верхний по диагонали. Ходят по очереди: сначала король, потом одна из ладей. Доказать, что при любом начальном расположении ладей и любом способе маневрирования ими король попадёт под шах.
К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15.
Задачи Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 598]
Задача 104079 |
|
|
У двузначного числа первая цифра вдвое больше второй. Если к этому числу прибавить квадрат его первой цифры, то получится квадрат некоторого целого числа. Найдите исходное двузначное число.
|
|
Решение |
Задача 30278 |
|
|
Как разложить по семи кошелькам 127 рублевых бумажек так, чтобы любую сумму от 1 до 127 рублей можно было бы выдать, не открывая кошельков?
|
|
Решение |
Задача 30621 |
|
|
К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15.
|
|
|
Решение |
Задача 30622 |
|
|
Сколько имеется четырёхзначных чисел, которые делятся на 45, а две средние цифры у них – 97?
|
|
|
Решение |
Задача 35248 |
|
|
Докажите, что произведение цифр любого натурального числа, большего 9, меньше самого числа.
|
|
|
Решение |
Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 598]
