Каталог по темам

Задачи

Страница: << 171 172 173 174 175 176 177 >> [Всего задач: 1221]

Задача 35149

Темы:	[	Неравенства с площадями	]
	[	Принцип Дирихле (площадь и объем)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

В квадрате со стороной 1 расположено 100 фигур, суммарная площадь которых больше 99. Докажите, что в квадрате найдется точка, принадлежащая всем этим фигурам.

Прислать комментарий Решение

Задача 35498

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Можно ли все натуральные числа разбить на пары так, чтобы сумма чисел в каждой паре была квадратом целого числа?

Прислать комментарий Решение

Задача 60390

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Разложение на множители	]
	[	Итерации	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10

Докажите, что для любого натурального a найдётся такое натуральное n, что все числа n + 1, nⁿ + 1, n^nⁿ + 1, ... делятся на a.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60413

Темы:	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
	[	Правило произведения	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Многочлены (прочее)	]
	[	Целочисленные решетки (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Докажите тождества:

а)

б)

в)

г)

д)

(Попробуйте доказать эти тождества тремя разными способами: пользуясь тем, что – это количество k-элементных подмножеств в множестве из n элементов; исходя из того, что – это коэффициент при x^k у многочлена (1 + x)ⁿ; пользуясь "шахматным городом" из задачи 60395).

Прислать комментарий

Решение

Задача 60472

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Разложение на множители	]
	[	Выделение полного квадрата. Суммы квадратов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

При каких целых n число n⁴ + 4 – составное?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 171 172 173 174 175 176 177 >> [Всего задач: 1221]