Каталог по темам

Задачи

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 137]

Задача 108158

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Биссектриса делит дугу пополам	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]
	[	Ромбы. Признаки и свойства	]

Сложность: 6
Классы: 8,9,10,11

Автор: Сонкин М.

Окружность, вписанная в четырёхугольник ABCD , касается его сторон DA , AB , BC и CD в точках K , L , M и N соответственно. Пусть S1 , S2 , S3 и S4 – окружности, вписанные в треугольники AKL , BLM , CMN и DNK соответственно. К окружностям S1 и S2 , S2 и S3 , S3 и S4 , S4 и S1 проведены общие касательные, отличные от сторон четырёхугольника ABCD . Докажите, что четырёхугольник, образованный этими четырьмя касательными, – ромб.

Прислать комментарий Решение

Задача 57020

Тема:

[

Описанные четырехугольники

]

Сложность: 6+
Классы: 8,9

Через каждую из точек пересечения продолжений сторон выпуклого четырехугольника ABCD проведено по две прямые. Эти прямые делят четырехугольник на девять четырехугольников.
а) Докажите, что если три из четырехугольников, примыкающих к вершинам A, B, C, D, описанные, то четвертый четырехугольник тоже описанный.
б) Докажите, что если r_a, r_b, r_c, r_d — радиусы окружностей, вписанных в четырехугольники, примыкающие к вершинам A, B, C, D, то

$\displaystyle {\frac{1}{r_a}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{r_c}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{r_b}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{r_d}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 57022

Тема:

[

Описанные четырехугольники

]

Сложность: 6+
Классы: 8,9

Докажите, что точка пересечения диагоналей описанного четырехугольника совпадает с точкой пересечения диагоналей четырехугольника, вершинами которого служат точки касания сторон исходного четырехугольника с вписанной окружностью.

Прислать комментарий Решение

Задача 52698

Темы:	[	Ромбы. Признаки и свойства	]
Темы:	[	Описанные четырехугольники	]

Сложность: 3-
Классы: 8,9

Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм — ромб.

Прислать комментарий Решение

Задача 53663

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
Темы:	[	Описанные четырехугольники	]

Сложность: 3-
Классы: 8,9

В вершинах A, B, C и D четырёхугольника ABCD находятся центры четырёх окружностей. Каждыые две окружности, центры которых расположены в соседних вершинах, касаются друг друга внешним образом. Известны три стороны четырёхугольника: AB = 2, BC = 3, CD = 5. Найдите сторону AD.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 137]