В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BD и CE. Из вершин B и C на прямую ED опущены перпендикуляры BF и CG. Докажите, что EF = DG.

   Решение

Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны и параллельны медианам данного треугольника.

   Решение

Вписанная окружность треугольника A₁A₂A₃ касается сторон A₂A₃, A₃A₁ и A₁A₂ в точках S₁, S₂ и S₃ соответственно. Пусть O₁, O₂ и O₃ – центры вписанных окружностей треугольников A₁S₂S₃, A₂S₃S₁ и A₃S₁S₂ соответственно. Докажите, что прямые O₁S₁, O₂S₂ и O₃S₃ пересекаются в одной точке.

   Решение

В треугольнике ABC угол A прямой, M – середина BC, AH – высота. Прямая, проходящая через точку M перпендикулярно AC, вторично пересекает описанную окружность треугольника AMC в точке P. Докажите, что отрезок BP делит отрезок AH пополам.

   Решение

В координатном пространстве провели все плоскости с уравнениями  x ± y ± z = n  (при всех целых n). Они разбили пространство на тетраэдры и октаэдры. Пусть точка  (x₀, y₀, z₀)  с рациональными координатами не лежит ни в одной проведённой плоскости. Докажите, что найдётся натуральное k, при котором точка  (kx₀, ky₀, kz₀)  лежит строго внутри некоторого октаэдра разбиения.

   Решение

Точка К – середина гипотенузы АВ прямоугольного равнобедренного треугольника ABC. Точки L и М выбраны на катетах ВС и АС соответственно так, что  BL = СМ.  Докажите, что треугольник LMK – также прямоугольный равнобедренный.

   Решение

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC  (∠ABC = 90°),  касается сторон AB, BC, AC в точках C₁, A₁, B₁ соответственно. Вневписанная окружность касается стороны BC в точке A₂. A₀ – центр окружности, описанной около треугольника A₁A₂B₁; аналогично определяется точка C₀. Найдите угол A₀BC₀.

   Решение

В прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что одна из его сторон находится на гипотенузе. Боковые отрезки гипотенузы равны m и n. Найдите площадь квадрата.

   Решение

Даны окружность и точка A. Найдите геометрическое место середин хорд, высекаемых данной окружностью на всевозможных прямых, проходящих через точку A.

   Решение

Окружность, построенная на стороне AD параллелограмма ABCD как на диаметре, проходит через середину диагонали AC и пересекает сторону AB в точке M. Найдите отношение AM : AB, если AC = 3BD.

   Решение

Страница: << 41 42 43 44 45 46 47 >> [Всего задач: 1282]      

На гипотенузе KM прямоугольного треугольника KLM расположен центр O окружности, которая касается катетов KL и LM в точках A и B соответственно. Найдите AK, если известно, что BM = , AK : AC = 5 : 23, где C — точка пересечения окружности с KM, лежащая между точками O и M.

Прислать комментарий

Решение

Вписанная окружность треугольника A₁A₂A₃ касается сторон A₂A₃, A₃A₁ и A₁A₂ в точках S₁, S₂ и S₃ соответственно. Пусть O₁, O₂ и O₃ – центры вписанных окружностей треугольников A₁S₂S₃, A₂S₃S₁ и A₃S₁S₂ соответственно. Докажите, что прямые O₁S₁, O₂S₂ и O₃S₃ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Через точку O, взятую на стороне правильного треугольника ABC, проведены прямые, параллельные сторонам AB и AC, и пересекающие стороны AC и AB в точках K и L соответственно. Окружность, проходящая через точки O, K и L пересекает стороны AC и AB соответственно в точках Q и P, отличных от K и L. Докажите, что треугольник OPQ — равносторонний.

Прислать комментарий

Решение

Окружность, построенная на стороне AD параллелограмма ABCD как на диаметре, проходит через середину диагонали AC и пересекает сторону AB в точке M. Найдите отношение AM : AB, если AC = 3BD.

Прислать комментарий

Решение

Окружность, построенная на стороне AD параллелограмма ABCD как на диаметре, проходит через середину диагонали BD и пересекает сторону CD в точке K. Найдите отношение KD : CD, если BD = 2AC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 41 42 43 44 45 46 47 >> [Всего задач: 1282]