Диагональ BD трапеции ABCD равна m, а боковая сторона AD равна n. Найдите основание CD, если известно, что основание, диагональ и боковая сторона трапеции, выходящие из вершины C, равны между собой.

   Решение

Один квадрат вписан в окружность, а другой квадрат описан около той же окружности так, что его вершины лежат на продолжениях сторон первого (см. рисунок). Найдите угол между сторонами этих квадратов.

   Решение

Сколько различных целочисленных решений имеет неравенство  |x| + |y| < 100?

   Решение

В треугольнике ABC перпендикуляр, проходящий через середину стороны AC, пересекает сторону BC в точке M, а перпендикуляр, проходящий через сторону BC пересекает сторону AC в точке N. Прямая MN перпендикулярна AB и MN = . Найдите углы треугольника ABC.

   Решение

Через вершину A остроугольного треугольника ABC проведена прямая, параллельная стороне BC, равной a, и пересекающая окружности, построенные на сторонах AB и AC как на диаметрах, в точках M и N, отличных от A. Найдите MN.

   Решение

Точка D – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC. Окружность, проходящая через точки A, B и D, пересекает стороны AC и BC в точках M и N соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников ABD и MNC равны.

   Решение

Из шахматной доски со стороной а) 2ⁿ; б) 6n + 1 выброшена одна клетка. Докажите, что оставшуюся часть доски можно замостить плитками, изображенными на рис.

   Решение

Точка M лежит на стороне AB треугольника ABC,  AM = a,  BM = b,  CM = c,  c < a,  c < b.
Найдите наименьший радиус описанной окружности такого треугольника.

   Решение

Дан остроугольный треугольник $ABC$. Точка $P$ выбрана так, что $AP=AB$ и $PB \parallel AC$. Точка $Q$ выбрана так, что $AQ=AC$ и $CQ \parallel AB$. Отрезки $CP$ и $BQ$ пересекаются в точке $X$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $ABC$ лежит на окружности $(PXQ)$.

   Решение

а) Докажите, что  p² – 1  делится на 24, если p – простое число и  p > 3.
б) Докажите, что  p² – q²  делится на 24, если p и q – простые числа, большие 3.

   Решение

AA₁ и BB₁ – высоты остроугольного треугольника ABC. Докажите, что:
  а) треугольник AA₁C подобен треугольнику BB₁C;
  б) треугольник ABC подобен треугольнику A₁B₁C.
  в) Найдите коэффициент подобия треугольников A₁B₁C и ABC, если  ∠C = γ.

   Решение

Докажите, что число 11...1 (1986 единиц) имеет по крайней мере
  а) 8;  б) 32 различных делителя.

   Решение

Пусть AB — основание трапеции ABCD. Доказать, что если AC + BC = AD + BD, то трапеция ABCD — равнобокая.

   Решение

В окружность вписана трапеция ABCD. Диаметр, проведённый через вершину A, перпендикулярен боковой стороне CD. Через вершину C проведён перпендикуляр к основанию AD, пересекающий отрезок AD в точке M, а окружность в точке N, причём CM : MN = 5 : 2. Найдите угол при основании трапеции.

   Решение

Тринадцать индюшат клевали зерно. Первый индюшонок склевал 40 зёрен; второй – 60, каждый следующий – среднее арифметическое зёрен, склеванных всеми предыдущими индюшатами. Сколько зёрен склевал 10-й индюшонок?

   Решение

Автобус называется переполненным, если в нем более 50 пассажиров. По дороге едет колонна автобусов (среди которых есть переполненные). Что больше – процент переполненных автобусов или процент пассажиров, которые едут в переполненных автобусах?

   Решение

В треугольнике ABC точка D лежит на стороне BC, а точка O -- на отрезке AD. Известно, что точки C, D и O лежат на окружности, центр которой находится на стороне AC, 4AC = 3AB, угол DAC в два раза больше угла BAD, а угол OCA в два раза меньше угла OCB. Найдите косинус угла ABC.

   Решение

Страница: << 28 29 30 31 32 33 34 >> [Всего задач: 306]      

Около треугольника APK описана окружность радиуса 1. Продолжение стороны AP за вершину P отсекает от касательной к окружности, проведённой через вершину K, отрезок BK, равный 7. Найдите площадь треугольника APK, если известно, что угол ABK равен arctg.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC точка D лежит на стороне BC, а точка O -- на отрезке AD. Известно, что точки C, D и O лежат на окружности, центр которой находится на стороне AC, 4AC = 3AB, угол DAC в два раза больше угла BAD, а угол OCA в два раза меньше угла OCB. Найдите косинус угла ABC.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC точка D лежит на стороне BC, прямая AD пересекается с биссектрисой угла ACB в точке O. Известно, что точки C, D и O лежат на окружности, центр которой находится на стороне AC, AC : AB = 4 : 3, а угол DAC в три раза больше угла DAB. Найдите косинус угла ACB.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC точка D лежит на стороне BC, а точка O — на отрезке AD. Известно, что точки C, D и O лежат на окружности, центр которой находится на стороне AC, AC = 2AB, угол DAC в два раза больше угла BAD, а угол OCA в два раза меньше угла OCB. Найдите косинус угла ACB.

Прислать комментарий

Решение

В окружности радиуса 5 проведены две взаимно перпендикулярные хорды AB и CD. Найдите AC, если BD = 8.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 28 29 30 31 32 33 34 >> [Всего задач: 306]