Рассматривается последовательность квадратов на плоскости. Первые два квадрата со стороной 1 расположены рядом (второй правее) и имеют одну общую вертикальную сторону. Нижняя сторона третьего квадрата со стороной 2 содержит верхние стороны первых двух квадратов. Правая сторона четвёртого квадрата со стороной 3 содержит левые стороны первого и третьего квадратов. Верхняя сторона пятого квадрата со стороной 5 содержит нижние стороны первого, второго и четвертого квадратов. Далее двигаемся по спирали бесконечно, обходя рассмотренные квадраты против часовой стрелки так, что сторона нового квадрата составлена из сторон трёх ранее рассмотренных. Докажите, что центры всех этих квадратов принадлежат двум прямым.

   Решение

Дан четырёхугольник ABCD, противоположные стороны которого пересекаются в точках P и Q. Две прямые, проходящие через эти точки, пересекают стороны четырёхугольника в четырёх точках, являющихся вершинами параллелограмма. Докажите, что центр этого параллелограмма лежит на прямой, соединяющей середины диагоналей ABCD.

   Решение

Через середину M стороны BC параллелограмма ABCD, площадь которого равна 1, и вершину A проведена прямая, пересекающая диагональ BD в точке O. Найдите площадь четырёхугольника OMCD.

   Решение

На сторонах равностороннего треугольника $ABC$ построены во внешнюю сторону треугольники $AB'C$, $CA'B$, $BC'A$ так, что получился шестиугольник $AB'CA'BC'$, в котором каждый из углов $A'BC'$, $C'AB'$, $B'CA'$ больше $120^\circ$, а для сторон выполняются равенства $AB'=AC'$, $BC'=BA'$, $CA'=CB'$. Докажите, что из отрезков $AB'$, $BC'$, $CA'$ можно составить треугольник.

   Решение

Точка M делит сторону AB треугольника ABC в отношении 2 : 5. В каком отношении отрезок CM делит площадь треугольника ABC?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 464]      

Какую часть площади, считая от вершины, отсекает средняя линия треугольника?

Прислать комментарий

Решение

Точка M делит сторону AB треугольника ABC в отношении 2 : 5. В каком отношении отрезок CM делит площадь треугольника ABC?

Прислать комментарий

Решение

Сторону АВ треугольника АВС продолжили за вершину В и выбрали на луче АВ точку А₁ так, что точка В – середина отрезка АА₁ . Сторону ВС продолжили за вершину С и отметили на продолжении точку В₁ так, что С – середина ВВ₁ . Аналогично, продолжили сторону СА за вершину А и отметили на продолжении точку С₁ так, что А – середина СС₁ . Найдите площадь треугольника А₁В₁С₁ , если площадь треугольника АВС равна1.

Прислать комментарий

Решение

С помощью циркуля и линейки разделите данный треугольник на три равновеликих треугольника прямыми, выходящими из одной вершины.

Прислать комментарий

Решение

На стороне AB треугольника ABC взяты точки M и N, причём AM : MN : NB = 2 : 2 : 1, а на стороне AC — точка K, причём AK : KC = 1 : 2. Найдите площадь треугольника MNK, если площадь треугольника ABC равна 1.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 464]