Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 18 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

а)  sin$ \alpha$sin$ \beta$sin$ \gamma$ $ \leq$ 3$ \sqrt{3}$/8;
б)  cos($ \alpha$/2)cos($ \beta$/2)cos($ \gamma$/2) $ \leq$ 3$ \sqrt{3}$/8.

Вниз   Решение


При каких целых значениях m число Р = 1 + 2m + 3m2 + 4m3 + 5m4 + 4m5 + 3m6 + 2m7 + m8 является квадратом целого числа?

ВверхВниз   Решение


Автор: Ивлев Б.М.

Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырёхугольника, площади которых относятся как 2 : 3. Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.

ВверхВниз   Решение


Высоты AA1 и BB1 треугольника ABC пересекаются в точке H. Прямая CH пересекает полуокружность с диаметром AB, проходящую через точки A1 и B1, в точке D. Отрезки AD и BB1 пересекаются в точке M, BD и AA1 – в точке N. Докажите, что описанные окружности треугольников B1DM и A1DN касаются.

ВверхВниз   Решение


На основаниях трапеции как на сторонах построены во внешнюю сторону два квадрата. Докажите, что отрезок, соединяющий центры квадратов, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции.

ВверхВниз   Решение


Дан прямоугольный треугольник. Впишите в него прямоугольник с общим прямым углом, у которого диагональ минимальна.

ВверхВниз   Решение


В корзине лежало не более 70 грибов, среди которых 52% – белые. Если выкинуть три самых маленьких гриба, то белых станет половина.
Сколько грибов в корзине?

ВверхВниз   Решение


На сторонах AB и AC треугольника ABC взяты соответственно точки M и N, причём  MN || BC.  На отрезке MN взята точка P, причём  MP = 1/3 MN.  Прямая AP пересекает сторону BC в точке Q. Докажите, что  BQ = 1/3 BC.

ВверхВниз   Решение


Автор: Акопян Э.

В начале года в 7 классе учились 25 человек. После того как туда пришли семеро новеньких, процентный состав отличников увеличился на 10 (если в начале года он был a%, то теперь –  (a + 10)%).  Сколько теперь отличников в классе?

ВверхВниз   Решение


Шестиугольник ABCDEF — вписанный, причём  AB || DE  и  BC || EF.  Докажите, что  CD || EF.

ВверхВниз   Решение


Один из углов треугольника равен α. Найдите угол между прямыми, содержащими высоты, проведённые из вершин двух других углов.

ВверхВниз   Решение


Две стороны треугольника равны 2$ \sqrt{2}$ и 3, площадь треугольника равна 3. Найдите третью сторону.

ВверхВниз   Решение


Аналитик сделал прогноз изменения курса доллара на каждый из трёх ближайших месяцев: на сколько процентов (число, большее 0% и меньшее 100%) изменится курс за июль, на сколько – за август, и на сколько – за сентябрь. Оказалось, что про каждый месяц он верно предсказал, на сколько процентов изменится курс, но ошибся с направлением изменения (то есть если он предсказывал, что курс увеличится на $x\%$, то курс падал на $x\%$, и наоборот). При этом через три месяца курс совпал с прогнозом. В какую сторону в итоге изменился курс?

ВверхВниз   Решение


Четырёхугольник разрезан диагоналями на четыре треугольника. Докажите, что точки пересечения медиан этих треугольников образуют параллелограмм.

ВверхВниз   Решение


Через середину M стороны BC параллелограмма ABCD, площадь которого равна 1, и вершину A проведена прямая, пересекающая диагональ BD в точке O. Найдите площадь четырёхугольника OMCD.

ВверхВниз   Решение


На сторонах AB и AC треугольника ABC, площадь которого равна 36 см2, взяты соответственно точки M и K так, что AM/MB = 1/3, а AK/KC = 2/1. Найдите площадь треугольника AMK.

ВверхВниз   Решение


Разделим каждую сторону выпуклого четырёхугольника ABCD на три равные части и соединим отрезками соответствующие точки на противоположных сторонах (см. рис.). Докажите, что площадь "среднего" четырёхугольника в 9 раз меньше площади четырёхугольника ABCD.

ВверхВниз   Решение


Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M; P – произвольная точка. Прямая la проходит через точку A параллельно прямой PA1, прямые lb и lc определяются аналогично. Докажите, что
  а) прямые la, lb и lc пересекаются в одной точке (обозначим её через Q);
  б) точка M лежит на отрезке PQ, причём  PM : MQ = 1 : 2.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 225]      



Задача 55762

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Трапеции (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

На каждом из оснований AD и BC трапеции ABCD построены вне трапеции равносторонние треугольники.
Докажите, что отрезок, соединяющий третьи вершины этих треугольников, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции.

Прислать комментарий     Решение

Задача 55763

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Трапеции (прочее) ]
[ Гомотетичные многоугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

На основаниях трапеции как на сторонах построены во внешнюю сторону два квадрата. Докажите, что отрезок, соединяющий центры квадратов, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции.

Прислать комментарий     Решение

Задача 55764

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Параллелограмм Вариньона ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Гомотетичные многоугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Четырёхугольник разрезан диагоналями на четыре треугольника. Докажите, что точки пересечения медиан этих треугольников образуют параллелограмм.

Прислать комментарий     Решение

Задача 55765

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M; P – произвольная точка. Прямая la проходит через точку A параллельно прямой PA1, прямые lb и lc определяются аналогично. Докажите, что
  а) прямые la, lb и lc пересекаются в одной точке (обозначим её через Q);
  б) точка M лежит на отрезке PQ, причём  PM : MQ = 1 : 2.

Прислать комментарий     Решение

Задача 55781

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

На каждой из сторон треугольника ABC построено по прямоугольнику так, что они попарно касаются вершинами (см. рисунок).
Докажите, что прямые, соединяющие вершины треугольника ABC с соответствующими вершинами треугольника A1B1C1, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 225]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .