Версия для печати
Убрать все задачи

---

Можно ли представить число в виде суммы квадратов двух натуральных чисел?

   Решение

---

При каких целых значениях m число Р = 1 + 2m + 3m² + 4m³ + 5m⁴ + 4m⁵ + 3m⁶ + 2m⁷ + m⁸ является квадратом целого числа?

   Решение

---

Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырёхугольника, площади которых относятся как 2 : 3. Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.

   Решение

---

Высоты AA₁ и BB₁ треугольника ABC пересекаются в точке H. Прямая CH пересекает полуокружность с диаметром AB, проходящую через точки A₁ и B₁, в точке D. Отрезки AD и BB₁ пересекаются в точке M, BD и AA₁ – в точке N. Докажите, что описанные окружности треугольников B₁DM и A₁DN касаются.

   Решение

---

На основаниях трапеции как на сторонах построены во внешнюю сторону два квадрата. Докажите, что отрезок, соединяющий центры квадратов, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции.

   Решение

---

Дан прямоугольный треугольник. Впишите в него прямоугольник с общим прямым углом, у которого диагональ минимальна.

   Решение

---

В корзине лежало не более 70 грибов, среди которых 52% – белые. Если выкинуть три самых маленьких гриба, то белых станет половина.
Сколько грибов в корзине?

   Решение

---

На сторонах AB и AC треугольника ABC взяты соответственно точки M и N, причём  MN || BC.  На отрезке MN взята точка P, причём  MP = ¹/₃ MN.  Прямая AP пересекает сторону BC в точке Q. Докажите, что  BQ = ¹/₃ BC.

   Решение

---

В начале года в 7 классе учились 25 человек. После того как туда пришли семеро новеньких, процентный состав отличников увеличился на 10 (если в начале года он был a%, то теперь –  (a + 10)%).  Сколько теперь отличников в классе?

   Решение

---

Шестиугольник ABCDEF — вписанный, причём  AB || DE  и  BC || EF.  Докажите, что  CD || EF.

   Решение

---

Один из углов треугольника равен α. Найдите угол между прямыми, содержащими высоты, проведённые из вершин двух других углов.

   Решение

---

Две стороны треугольника равны 2 и 3, площадь треугольника равна 3. Найдите третью сторону.

   Решение

---

Аналитик сделал прогноз изменения курса доллара на каждый из трёх ближайших месяцев: на сколько процентов (число, большее 0% и меньшее 100%) изменится курс за июль, на сколько – за август, и на сколько – за сентябрь. Оказалось, что про каждый месяц он верно предсказал, на сколько процентов изменится курс, но ошибся с направлением изменения (то есть если он предсказывал, что курс увеличится на $x\%$, то курс падал на $x\%$, и наоборот). При этом через три месяца курс совпал с прогнозом. В какую сторону в итоге изменился курс?

   Решение

---

Четырёхугольник разрезан диагоналями на четыре треугольника. Докажите, что точки пересечения медиан этих треугольников образуют параллелограмм.

   Решение

---

Через середину M стороны BC параллелограмма ABCD, площадь которого равна 1, и вершину A проведена прямая, пересекающая диагональ BD в точке O. Найдите площадь четырёхугольника OMCD.

   Решение

---

На сторонах AB и AC треугольника ABC, площадь которого равна 36 см², взяты соответственно точки M и K так, что AM/MB = 1/3, а AK/KC = 2/1. Найдите площадь треугольника AMK.

   Решение

---

Разделим каждую сторону выпуклого четырёхугольника ABCD на три равные части и соединим отрезками соответствующие точки на противоположных сторонах (см. рис.). Докажите, что площадь "среднего" четырёхугольника в 9 раз меньше площади четырёхугольника ABCD.

   Решение

---

Медианы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M; P – произвольная точка. Прямая l_a проходит через точку A параллельно прямой PA₁, прямые l_b и l_c определяются аналогично. Докажите, что
  а) прямые l_a, l_b и l_c пересекаются в одной точке (обозначим её через Q);
  б) точка M лежит на отрезке PQ, причём  PM : MQ = 1 : 2.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 225]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 55762

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

На каждом из оснований AD и BC трапеции ABCD построены вне трапеции равносторонние треугольники.
Докажите, что отрезок, соединяющий третьи вершины этих треугольников, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 55763

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Трапеции (прочее) ] [ Гомотетичные многоугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

На основаниях трапеции как на сторонах построены во внешнюю сторону два квадрата. Докажите, что отрезок, соединяющий центры квадратов, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 55764

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Параллелограмм Вариньона ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Гомотетичные многоугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Четырёхугольник разрезан диагоналями на четыре треугольника. Докажите, что точки пересечения медиан этих треугольников образуют параллелограмм.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 55765

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Медианы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M; P – произвольная точка. Прямая l_a проходит через точку A параллельно прямой PA₁, прямые l_b и l_c определяются аналогично. Докажите, что
  а) прямые l_a, l_b и l_c пересекаются в одной точке (обозначим её через Q);
  б) точка M лежит на отрезке PQ, причём  PM : MQ = 1 : 2.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 55781

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

На каждой из сторон треугольника ABC построено по прямоугольнику так, что они попарно касаются вершинами (см. рисунок).
Докажите, что прямые, соединяющие вершины треугольника ABC с соответствующими вершинами треугольника A₁B₁C₁, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 225]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями