Найдите все шестизначные числа, которые уменьшаются втрое при перенесении последней цифры на первое место.

   Решение

Докажите, что отрезок, соединяющий вершину равнобедренного треугольника с точкой, лежащей на основании, не больше боковой стороны треугольника.

   Решение

Окружности с центрами O1 и O2 пересекаются в точках A и B . Известно, что AO1B= 90^o , AO2B = 60^o , O1O2=a . Найдите радиусы окружностей.

   Решение

В треугольнике две высоты не меньше сторон, на которые они опущены. Найдите углы треугольника.

   Решение

Диагонали ромба равны 24 и 70. Найдите сторону ромба.

   Решение

Через вершины A и B треугольника ABC проведены две параллельные прямые, а прямые m и n симметричны им относительно биссектрис соответствующих углов. Докажите, что точка пересечения прямых m и n лежит на описанной окружности треугольника ABC.

   Решение

Для каждого непрямоугольного треугольника T обозначим через T₁ треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T; через T₂ – треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T₁; аналогично определим треугольники T₃, T₄ и так далее. Каким должен быть треугольник T, чтобы
  а) треугольник T₁ был остроугольным?
  б) в последовательности T₁, T₂, T₃, ... встретился прямоугольный треугольник T_n (и таким образом треугольник T_n+1 не определён)?
  в) треугольник T₃ был подобен треугольнику T?
  г) Для каждого натурального числа n выясните, сколько существует неподобных друг другу треугольников T, для которых треугольник T_n подобен треугольнику Т.

   Решение

С помощью циркуля и линейки через данную внутри окружности точку проведите хорду, которая делилась бы этой точкой пополам.

   Решение

В остроугольном треугольнике $ABC$ $CM$ – медиана, $P$ – проекция ортоцентра $H$ на биссектрису угла $C$. Докажите, что $MP$ делит отрезок $CH$ пополам.

   Решение

У каждого из тридцати шестиклассников есть одна ручка, один карандаш и одна линейка. После их участия в олимпиаде оказалось, что 26 учеников потеряли ручку, 23 – линейку и 21 – карандаш. Найдите наименьшее возможное количество шестиклассников, потерявших все три предмета.

   Решение

В пространстве (но не в одной плоскости) расположены шесть различных точек: A, B, C, D, E и F. Известно, что отрезки AB и DE, BC и EF, CD и FA попарно параллельны. Докажите, что эти же отрезки и попарно равны.

   Решение

В правильную четырехугольную пирамиду вписана сфера, которая касается основания и всех боковых граней. Сфера делит высоту пирамиды в отношении 9 : 7, считая от вершины пирамиды. Найдите объем пирамиды, если сторона основания пирамиды равна a.

   Решение

Найдите диагонали ромба, если они относятся как  3 : 4,  а периметр равен 1.

   Решение

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота  CH. Докажите, что  AC² = AB·AH  и  CH² = AH·BH.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 159]      

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота  CH. Докажите, что  AC² = AB·AH  и  CH² = AH·BH.

Прислать комментарий

Решение

На высотах BB₁ и CC₁ треугольника ABC взяты точки B₂ и C₂ так, что   ∠AB₂C = ∠AC₂B = 90°.  Докажите, что  AB₂ = AC₂.

Прислать комментарий

Решение

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, равные a и b. Найдите катеты.

Прислать комментарий

Решение

Катеты прямоугольного треугольника относятся как 5:6, а гипотенуза равна 122. Найдите отрезки, на которые высота делит гипотенузу.

Прислать комментарий

Решение

Около трапеции ABCD описана окружность радиуса 6. Центр этой окружности лежит на основании AD,  BC = 4.  Найдите площадь трапеции.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 159]