Фильтр
Выбрано 10 задач Убрать все задачи
Дан выпуклый n-угольник, никакие две стороны
которого не параллельны. Докажите, что различных треугольников,
о которых идет речь в задаче 22.8, не менее n - 2.
Внутри квадрата расположены три окружности, каждая из которых касается внешним образом двух других, а также касается двух сторон квадрата. Докажите, что радиусы двух из данных окружностей одинаковы.
Правильный треугольник сложен из одинаковых прямоугольных (красных) и одинаковых равнобедренных (зелёных) треугольников так, как показано на рисунке. Чему равна площадь правильного треугольника, если площадь зелёного треугольника равна 1? При необходимости округлите ответ до двух знаков после запятой.
Пусть x, y, z – положительные числа и xyz(x + y + z) = 1. Найдите наименьшее значение выражения (x + y)(x + z).
В треугольник ABC вписана окружность, которая касается стороны AB в точке D, а стороны AC — в точке E. Найдите площадь треугольника ADE, если известно, что AD = 6, EC = 2, а угол BCA равен 60o.
Периметр параллелограмма равен 90, а острый угол равен 60$deg;. Диагональ параллелограмма делит его тупой угол на части в отношении 1 : 3. Найдите стороны параллелограмма.
Найдите сумму углов, которые произвольная прямая образует с плоскостью и прямой, перпендикулярной этой плоскости.
В связном графе степени всех вершин чётны. Докажите, что на рёбрах этого графа можно расставить стрелки так, чтобы выполнялись следующие условия:
а) двигаясь по стрелкам, можно добраться от каждой вершины до любой другой;
б) для каждой вершины числа входящих и выходящих рёбер равны.
Выпуклый n-угольник P, где n > 3, разрезан на равные треугольники диагоналями, не пересекающимися внутри него.
Каковы возможные значения n, если n-угольник описанный?
Докажите, что диагонали AD, BE и CF описанного
шестиугольника ABCDEF пересекаются в одной точке (Брианшон).
Задачи Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 125]
Задача 67253 |
|
|
Дан треугольник $ABC$ и окружности $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$, $\omega_4$ с центрами $X$, $Y$, $Z$, $T$ соответственно такие, что каждая из прямых $BC$, $CA$, $AB$ высекает на них четыре равных отрезка. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника $ABC$ делит отрезок с концами в $X$ и радикальном центре $\omega_2$, $\omega_3$, $\omega_4$ в отношении $2:1$, считая от $X$.
|
|
Решение |
Задача 111721 |
|
Даны две окружности. Общая внешняя касательная касается их в точках A и B . Точки X , Y на окружностях таковы, что существует окружность, касающаяся данных в этих точках, причем одинаковым образом (внешним или внутренним). Найдите геометрическое место точек пересечения прямых AX и BY .
|
|
|
Решение |
Задача 110780 |
|
|
Дана окружность и точка P внутри нее, отличная от центра. Рассматриваются пары окружностей, касающиеся данной изнутри и друг друга в точке P . Найдите геометрическое место точек пересечения общих внешних касательных к этим окружностям.
|
|
|
Решение |
Задача 56728 |
|
|
а) В треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1
и CC1. Прямые AB и A1B1, BC и B1C1, CA и C1A1
пересекаются в точках C', A' и B'. Докажите, что точки A', B'
и C' лежат на радикальной оси окружности девяти
точек и описанной окружности.
б) Биссектрисы внешних углов треугольника ABC пересекают
продолжения противоположных сторон в точках A', B'
и C'. Докажите, что точки A', B' и C' лежат на одной
прямой, причем эта прямая перпендикулярна прямой, соединяющей
центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.
|
|
|
Решение |
Задача 56729[Теорема Брианшона] |
|
|
Докажите, что диагонали AD, BE и CF описанного
шестиугольника ABCDEF пересекаются в одной точке (Брианшон).
|
|
Решение |
Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 125]
