Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дано несколько белых и несколько чёрных точек. Из каждой белой точки идет стрелка в каждую чёрную, на каждой стрелке написано натуральное число. Известно, что если пройти по любому замкнутому маршруту, то произведение чисел на стрелках, идущих по направлению движения, равно произведению чисел на стрелках, идущих против направления движения. Обязательно ли можно поставить в каждой точке натуральное число так, чтобы число на каждой стрелке равнялось произведению чисел на её концах?

   Решение

---

Углы треугольника ABC удовлетворяют соотношению  sin²A + sin²B + sin²C = 1.
Докажите, что его описанная окружность и окружность девяти точек пересекаются под прямым углом.

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 64]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 57072

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

В правильном восемнадцатиугольнике A₀...A₁₇ проведены диагонали A₀A_p+3, A_p+1A_18–r и A₁A_p+q+3.
Докажите, что указанные диагонали пересекаются в одной точке в любом из следующих случаев:
  а)  {p, q, r} = {1, 3, 4},
  б)  {p, q, r} = {2, 2, 3}.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57004

Темы:   [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Взаимное расположение двух окружностей ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Углы треугольника ABC удовлетворяют соотношению  sin²A + sin²B + sin²C = 1.
Докажите, что его описанная окружность и окружность девяти точек пересекаются под прямым углом.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79501

Темы:   [ Неравенства с биссектрисами ] [ Теорема синусов ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Биссектриса угла A треугольника ABC продолжена до пересечения в D с описанной вокруг него окружностью. Докажите, что AD > 1/2 (AB + AC).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111266

Темы:   [ Симметричные неравенства для углов треугольника ] [ Неравенства для углов треугольника ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ] [ Тригонометрические неравенства ] [ Теорема синусов ] [ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ] [ Неравенства с медианами ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Докажите, что если α , β и γ – углы остроугольного треугольника, то sinα + sinβ + sinγ > 2 .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58017

Темы:   [ Поворотная гомотетия ] [ Гомотетия: построения и геометрические места точек ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Дана полуокружность с диаметром AB. Для каждой точки X этой полуокружности на луче XA откладывается точка Y так, что XY = kXB. Найдите ГМТ Y.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 64]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями