Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 31]

Задача 58395

Темы:	[	Комплексные числа в геометрии	]
	[	Свойства инверсии	]
	[	Проективные преобразования плоскости	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам a, b, c, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда число ${\frac{a-b}{a-c}}$ , называемое простым отношением трех комплексных чисел, вещественно.
б) Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам a, b, c, d, лежат на одной окружности (или на одной прямой) тогда и только тогда, когда число ${\frac{a-c}{a-d}}$ : ${\frac{b-c}{b-d}}$ , называемое двойным отношением четырех комплексных чисел, вещественно.

Прислать комментарий Решение

Задача 116294

Темы:	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Свойства инверсии	]
	[	Гомотетичные окружности	]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Задача Паппа. III в. н.э.}На отрезке AB взята точка C и на отрезках AB , BC , CA как на диаметрах построены соответственно полуокружности α , β , γ по одну сторону от AC . В криволинейный треугольник, образованный этими полуокружностями, вписана окружность δ1 , в криволинейный треугольник, образованный полуокружностями α , β и окружностью δ1 , вписана окружность δ2 и т.д. (окружность δ_n вписана в криволинейный треугольник, образованный полуокружностями α , β и окружностью δ_n-1 , n=2,3, .. ). Пусть r_n — радиус окружности δ_n , d_n — расстояние от центра окружности δ_n до прямой AB . Докажите, что = 2n .

Прислать комментарий Решение

Задача 52785

Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Формула Герона	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Свойства инверсии	]
	[	Гомотетичные окружности	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

На отрезке AC взята точка B и на отрезках AB, BC, CA как на диаметрах построены полуокружности S₁, S₂, S₃ по одну сторону от AC.
Найдите радиус окружности, касающейся всех трёх полуокружностей, если известно, что её центр удален от прямой AC на расстояние a.

Прислать комментарий

Решение

Задача 52464

[Формула Эйлера]

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Свойства инверсии	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Докажите формулу Эйлера: O1O22 = R2-2rR , где O1 , O2 — центры соответственно вписанной и описанной окружностей треугольника, r , R — радиусы этих окружностей.

Прислать комментарий Решение

Задача 55470

Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Свойства инверсии	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Даны четыре окружности, каждая из которых касается внешним образом двух из трёх остальных. Докажите, что через точки касания можно провести окружность.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 31]