Внутри выпуклого четырехугольника ABCD построены равнобедренные прямоугольные треугольники ABO₁, BCO₂, CDO₃ и DAO₄. Докажите, что если O₁ = O₃, то O₂ = O₄.

   Решение

На сторонах параллелограмма внешним образом построены квадраты. Докажите, что их центры образуют квадрат.

   Решение

Даны два приведённых квадратных трёхчлена. График одного из них пересекает ось Ox в точках A и M, а ось Oy – в точке C. График другого пересекает ось Ox в точках B и M, а ось Oy – в точке D. (O – начало координат; точки расположены как на рисунке.) Докажите, что треугольники AOC и BOD подобны.

   Решение

При каких a уравнение
  а)  ax² + (a + 1)x – 2 = 0;
  б)  (1 – a)x² + (a + 1)x – 2 = 0
имеет два различных корня?

   Решение

Укажите все точки плоскости  (x, y),  через которые проходит хотя бы одна кривая семейства  y = p² + (2p – 1)x + 2x².

   Решение

Рассматриваются квадратичные функции  y = x² + px + q,  для которых  p + q = 2002.
Покажите, что параболы, являющиеся графиками этих функций, пересекаются в одной точке.

   Решение

Дан прямоугольник ABCD. Найдите ГМТ X, для которых  AX + BX = CX + DX.

   Решение

На плоскости даны точки A и B. Найдите ГМТ M, для которых разность квадратов длин отрезков AM и BM постоянна.

   Решение

Найдите геометрическое место центров окружностей, касающихся данной окружности в данной на ней точке.

   Решение

Даны две прямые, пересекающиеся в точке O. Найдите ГМТ X, для которых сумма длин проекций отрезков OX на эти прямые постоянна.

   Решение

Два колеса радиусов r и R катаются по прямой m. Найдите геометрическое место точек пересечения M их общих внутренних касательных.

   Решение

Докажите, что из n предметов чётное число предметов можно выбрать 2^n–1 способами.

   Решение

Обозначим через P_k,l(n) количество разбиений числа n на не более чем k слагаемых, каждое из которых не превосходит l.
Докажите равенства:
  а)  P_k,l(n) – P_k,l–1(n) = P_k–1,l(n – l);
  б)  P_k,l(n) – P_k–1,l(n) = P_k,l–1(n – k);
  в)  P_k,l(n) = P_l,k(n);
  г)  P_k,l(n) = P_k,l(kl – n).

   Решение

Билеты стоят 50 центов, и 2n покупателей стоят в очереди в кассу. Половина из них имеет по одному доллару, остальные – по 50 центов. Кассир начинает продажу билетов, не имея денег. Сколько существует различных порядков в очереди, таких, что кассир всегда может дать сдачу?

   Решение

Докажите, что  

   Решение

Рассмотрим шахматную доску n×n. Требуется провести ладью из левого нижнего угла в правый верхний. Двигаться можно только вверх и вправо, не заходя при этом на клетки главной диагонали и ниже нее. (Ладья оказывается на главной диагонали только в начальный и в конечный моменты времени.) Сколько у ладьи существует таких маршрутов?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 38]      

Докажите, что из n предметов чётное число предметов можно выбрать 2^n–1 способами.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что  

Прислать комментарий

Решение

Рассмотрим шахматную доску n×n. Требуется провести ладью из левого нижнего угла в правый верхний. Двигаться можно только вверх и вправо, не заходя при этом на клетки главной диагонали и ниже нее. (Ладья оказывается на главной диагонали только в начальный и в конечный моменты времени.) Сколько у ладьи существует таких маршрутов?

Прислать комментарий

Решение

Билеты стоят 50 центов, и 2n покупателей стоят в очереди в кассу. Половина из них имеет по одному доллару, остальные – по 50 центов. Кассир начинает продажу билетов, не имея денег. Сколько существует различных порядков в очереди, таких, что кассир всегда может дать сдачу?

Прислать комментарий

Решение

Обозначим через P_k,l(n) количество разбиений числа n на не более чем k слагаемых, каждое из которых не превосходит l.
Докажите равенства:
  а)  P_k,l(n) – P_k,l–1(n) = P_k–1,l(n – l);
  б)  P_k,l(n) – P_k–1,l(n) = P_k,l–1(n – k);
  в)  P_k,l(n) = P_l,k(n);
  г)  P_k,l(n) = P_k,l(kl – n).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 38]