Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Методы >> Алгебраические методы
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 15 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

На продолжениях медиан AK, BL и CM треугольника ABC взяты точки P, Q и R, причём KP = $ {\frac{1}{2}}$AK, LQ = $ {\frac{1}{2}}$BL и MR = $ {\frac{1}{2}}$CM. Найдите площадь треугольника PQR, если площадь треугольника ABC равна 1.

Вниз   Решение

Отрезок постоянной длины движется по плоскости так, что его концы скользят по сторонам прямого угла.
По какой траектории движется середина этого отрезка?

ВверхВниз   Решение

Даны две непересекающиеся окружности радиусов R и 2R. К ним проведены общие касательные, которые пересекаются в точке A отрезка, соединяющего центры окружностей. Расстояние между центрами окружностей равно 2R$ \sqrt{3}$. Найдите площадь фигуры, ограниченной отрезками касательных, заключёнными между точками касания и большими дугами окружностей, соединяющими точки касания.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что число состоящее из 243 единиц делится на 243.

ВверхВниз   Решение

Внутри выпуклого четырёхугольника расположены четыре окружности, каждая из которых касается двух соседних сторон четырёхугольника и двух окружностей (внешним образом). Известно, что в четырёхугольник можно вписать окружность. Докажите, что по крайней мере две из данных окружностей равны.

ВверхВниз   Решение

На стороне BC треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая отрезок AB в точке D. Найдите отношение площадей треугольников ABC и BCD, если известно, что AC = 15, BC = 20 и $ \angle$ABC = $ \angle$ACD.

ВверхВниз   Решение

Диагонали выпуклого четырёхугольника равны c и d и пересекаются под углом 45o. Найдите отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника.

ВверхВниз   Решение

Найдите наибольшее значение функции y = ln (x+4)5-5x на отрезке [-3,5;0] .

ВверхВниз   Решение

Точки A, B, C и D последовательно расположены на окружности, причём центр O окружности расположен внутри четырёхугольника ABCD. Точки K, L, M и N – середины отрезков AB, BC, CD и AD соответственно. Докажите, что  ∠KON + ∠MOL = 180°.

ВверхВниз   Решение

На сторонах произвольного треугольника ABC во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники ABC1, A1BC и AB1C.
Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

ВверхВниз   Решение

Найдите геометрическое место точек, из которых проведены касательные к данной окружности, равные заданному отрезку.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что  1n + 2n + ... + (n – 1)n  делится на n при нечётном n.

ВверхВниз   Решение

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, относится к радиусу вписанной в него окружности как 5:2. Найдите площадь треугольника, если один из его катетов равен a.

ВверхВниз   Решение

На сторонах AB, BC, CD и DA произвольного четырёхугольника ABCD взяты точки K, L, M и N соответственно. Обозначим через S1, S2, S3 и S4 площади треугольников AKN, BKL, CLM и DMN соответственно. Докажите, что  

ВверхВниз   Решение

Докажите, что уравнения
  а)  8x4 + 4y4 + 2z4 = t4;
  б)  x² + y² + z² = 2xyz;
  в)  x² + y² + z² + u² = 2xyzu;
  г)  3n = x² + y²
не имеют решений в натуральных числах.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 114 115 116 117 118 119 120 >> [Всего задач: 1222]      

  с решениями  

Задача 35336

Темы:   [ Ребусы ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

ABCDEF – число из шести цифр. Все они разные и расположены слева направо в возрастающем порядке. Число это – полный квадрат.
Определите, какое это число.

Прислать комментарий     Решение

Задача 35467

Темы:   [ Средние величины ]
[ Процессы и операции ]
[ Полуинварианты ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Даны 10 чисел – одна единица и 9 нулей. Разрешается выбирать два числа и заменять каждое из них их средним арифметическим.
Какое наименьшее число может оказаться на месте единицы?

Прислать комментарий     Решение

Задача 35499

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

В хоккейном турнире принимают участие n команд. Каждая команда встречается с каждой по одному разу, при этом выигравшей команде присуждается 2 очка, сыгравшей вничью – 1, проигравшей – 0 очков. Какой максимальный разрыв в очках может быть между командами, занявшими соседние места?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60362

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Даны 1002 различных числа, не превосходящих 2000. Докажите, что из них можно выбрать три таких числа, что сумма двух из них равна третьему. Останется ли это утверждение справедливым, если число 1002 заменить на 1001?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60773

Темы:   [ Обыкновенные дроби ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Функция Эйлера ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Найдите сумму всех правильных несократимых дробей со знаменателем n.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 114 115 116 117 118 119 120 >> [Всего задач: 1222]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .