Каталог по темам

Выбрано 25 задач

В окружность радиуса R вписан шестиугольник ABCDEF. Известно, что $\angle$ A = $\angle$ C = $\angle$ E, AB = a, CD = b, EF = c. Найдите площадь шестиугольника ABCDEF.

Решение

Пусть A, B и C – три числа, большие 0 и меньшие 1, K – наибольшее из них. Докажите, что 1 – (1 – A)(1 – B)(1 – C) > K.

Решение

Сто положительных чисел C₁, C₂, ..., C₁₀₀ удовлетворяют условиям
Доказать, что среди них можно найти три числа, сумма которых больше 100.

Решение

Автор: Нилов Ф.

Центр окружности ω₂ лежит на окружности ω₁. Из точки X окружности ω₁ проведены касательные XP и XQ к окружности ω₂ (P и Q – точки касания), которые повторно пересекают ω₁ в точках R и S. Докажите, что прямая PQ проходит через середину отрезка RS.

Решение

На данной окружности выбраны диаметрально противоположные точки A и B и третья точка C. Касательная, проведённая к окружности в точке A, и прямая BC пересекаются в точке M. Доказать, что касательная, проведённая к окружности в точке C, делит пополам отрезок AM.

Решение

Простые числа имеют только два различных делителя – единицу и само это число. А какие числа имеют только три различных делителя?

Решение

Дано 25 чисел. Какие бы три из них мы ни выбрали, среди оставшихся найдётся такое четвёртое, что сумма этих четырёх чисел будет положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?

Решение

Постройте последовательность полиномов, которая получается, если метод Лобачевского (см. задачу 61333) применить для приближенного нахождения корней многочлена x² – x – 1. Какие последовательности будут сходиться к корням x₁ и x₂, если |x₁| > |x₂|?

Решение

Автор: Шаповалов А.В.

Можно ли расставить в вершинах куба натуральные числа так, чтобы в каждой паре чисел, связанных ребром, одно из них делилось на другое, а во всех других парах такого не было?

Решение

Доказать, что для любых чисел a₁, ..., a₁₉₈₇ и положительных чисел b₁,..., b₁₉₈₇ справедливо неравенство

≤

+ ... +

Решение

На плоскости даны точки A и B. Найдите геометрическое место точек C, для которых $\angle$ C > $\angle$ B и треугольник ABC:

а) остроугольный;

б) тупоугольный.

Решение

a, b, c, d – положительные числа. Докажите, что по крайней мере одно из неравенств
1) a + b < c + d;
2) (a + b)cd < ab(c + d);
3) (a + b)(c + d) < ab + cd
неверно.

Решение

Автор: Фольклор

Дано 1989 чисел. Известно, что сумма любых десяти из них положительна. Докажите, что сумма всех чисел тоже положительна.

Решение

Каждый участник двухдневной олимпиады в первый день решил столько же задач, сколько все остальные в сумме – во второй день.
Докажите, что все участники решили поровну задач.

Решение

Автор: Фольклор

Мальвина велела Буратино разрезать квадрат на 7 прямоугольников (необязательно различных), у каждого из которых одна сторона в два раза больше другой. Выполнимо ли это задание?

Решение

а) Докажите, что где a₀, ..., a_n – рациональные числа.

б) Найдите эти представления в явном виде для n = 2, 3, 4, 5.

в) Выразите sinⁿx при чётном n в виде а при нечётном – в виде

Решение

Вычислите суммы:
а) cos²x + cos²2x + ... + cos²2nx;
б) sin²x + sin²2x + ... + sin²2nx.

Решение

Известно, что sin α = ³/₅. Докажите, что sin 25α имеет вид ⁿ/_5²⁵, где n – целое, не делящееся на 5.

Решение

а) Докажите равенство: cos φ + ... + cos nφ = ;
б) Вычислите сумму: sinφ + ... + sin nφ.

Решение

Пользуясь теоремой о рациональных корнях многочлена (см. задачу 61013), докажите, что если ^p/_q рационально и cos (^p/_q)° ≠ 0, ±½, ±1, то
cos (^p/_q)° – число иррациональное.

Решение

Около окружности радиуса R описана равнобедренная трапеция ABCD. E и K – точки касания этой окружности с боковыми сторонами трапеции. Угол между основанием AB и боковой стороной AD трапеции равен 60°. Докажите, что EK || AB и найдите площадь трапеции ABKE.

Решение

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 4. На середине ребра BC взята точка M , а на ребре A1D1 на расстоянии 1 от вершины A1 взята точка N . Найдите длину кратчайшего пути между точками M и N по поверхности куба.

Решение

Докажите, что окружность, построенная на боковой стороне равнобедренного треугольника как на диаметре, проходит через середину основания.

Решение

Обозначим через a наименьшее число кругов радиуса 1, которыми можно полностью покрыть заданный многоугольник M, через b — наибольшее число непересекающихся кругов радиуса 1 с центрами внутри многоугольника M. Какое из чисел больше, a или b?

Решение

Дано N точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Каждые две из этих точек соединены отрезком, и каждый отрезок окрашен в один из k цветов. Докажите, что если N > [k!e], то среди данных точек можно выбрать такие три, что все стороны образованного ими треугольника будут окрашены в один цвет.

Решение

Задача 31104

Задача 35108

Задача 35163

Задача 60874

Задача 65731