ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Математический анализ >> Производная
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 10 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

В вершинах A , B и C равностороннего треугольника ABC со стороной 1 восставлены к его плоскости перпендикуляры и на них взяты точки A1 , B1 и C1 , находящиеся по одну сторону от плоскости ABC , причём AA1 = 4 , BB1 = 5 и CC1 = 6 . Найдите объём многогранника ABCA1B1C1 .

Вниз   Решение

Листок календаря частично закрыт предыдущим оторванным листком (см. рисунок). Вершины A и B верхнего листка лежат на 

сторонах нижнего листка. Четвёртая вершина нижнего листка не видна  — она закрыта верхним листком. Верхний и нижний листки, естественно, равны между собой. Какая часть нижнего листка больше  — закрытая или открытая?

ВверхВниз   Решение

Автор: Евдокимов М.А.

Сфера единичного радиуса касается всех ребер некоторой треугольной призмы. Чему может быть равен объем этой призмы? Ответ округлите до сотых.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что не существует на плоскости четырех точек A, B, C и D таких, что все треугольники ABC, BCD, CDA, DAB остроугольные.

ВверхВниз   Решение

На острове проживают 1234 жителя, каждый из которых либо рыцарь (который всегда говорит правду) либо лжец (который всегда лжёт). Однажды все жители острова разбились на пары, и каждый про своего соседа по паре сказал: "Он – рыцарь!", либо "Он – лжец!". Могло ли в итоге оказаться, что тех и других фраз произнесено поровну?

ВверхВниз   Решение

Докажите для положительных значений переменных неравенство   ≤ .

ВверхВниз   Решение

Высота правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 в 4 раза больше ребра основания. Точка D – середина ребра A1B1 , точки E и F расположены на отрезках AD и CB1 соответственно, причём AE = AD , CF=CB1 . Найдите угол между прямой EF и плоскостью, проходящей через ребро BB1 и середину ребра AC .

ВверхВниз   Решение

Все двугранные углы некоторого трёхгранного угла – острые. Докажите, что все его плоские углы – также острые.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что плоскость, пересекающая боковую поверхность правильной 2n -угольной призмы, но не пересекающая её оснований, делит ось призмы, её боковую поверхность и объём в одном и том же отношении.

ВверхВниз   Решение

Для данного многочлена P(x) опишем способ, который позволяет построить многочлен R(x), который имеет те же корни, что и P(x), но все кратности 1. Положим  Q(x) = (P(x), P'(x))  и  R(x) = P(x)Q–1(x).  Докажите, что
  а) все корни многочлена P(x) будут корнями R(x);
  б) многочлен R(x) не имеет кратных корней.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 92]      

  с решениями  

Задача 61327

Тема:   [ Производная и касательная ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Докажите, что касательная к графику функции f (x), построенная в точке с координатами (x0;f (x0)) пересекает ось Ox в точке с координатой

x0 - $\displaystyle {\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}}$.


Прислать комментарий     Решение

Задача 61406

Тема:   [ Выпуклость и вогнутость ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Докажите, что если функция f (x) выпукла вверх на отрезке [a;b], то для любых различных точек x1, x2 из [a;b] и любых положительных $ \alpha_{1}^{}$, $ \alpha_{2}^{}$ таких, что $ \alpha_{1}^{}$ + $ \alpha_{2}^{}$ = 1 выполняется неравенство:

f$\displaystyle \left(\vphantom{\alpha_1x_1+\alpha_2x_2}\right.$$\displaystyle \alpha_{1}^{}$x1 + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$x2$\displaystyle \left.\vphantom{\alpha_1x_1+\alpha_2x_2}\right)$ > $\displaystyle \alpha_{1}^{}$f (x1) + $\displaystyle \alpha_{2}^{}$f (x2).


Прислать комментарий     Решение

Задача 111923

Темы:   [ Производная и кратные корни ]
[ Производная и экстремумы ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Автор: Сергеев И.Н.

Когда из бассейна сливают воду, уровень h воды в нём меняется в зависимости от времени t по закону

h(t)=at2+bt+c,

а в момент t0 окончания слива выполнены равенства h(t0)=h'(t0)=0 . За сколько часов вода из бассейна сливается полностью, если за первый час уровень воды в нём уменьшается вдвое?
Прислать комментарий     Решение

Задача 61019

Темы:   [ Производная и кратные корни ]
[ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Для данного многочлена P(x) опишем способ, который позволяет построить многочлен R(x), который имеет те же корни, что и P(x), но все кратности 1. Положим  Q(x) = (P(x), P'(x))  и  R(x) = P(x)Q–1(x).  Докажите, что
  а) все корни многочлена P(x) будут корнями R(x);
  б) многочлен R(x) не имеет кратных корней.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61020

Темы:   [ Производная и кратные корни ]
[ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Постройте многочлен R(x) из задачи 61019, если:
  а)  P(x) = x6 – 6x4 – 4x3 + 9x2 + 12x + 4;
  б)  P(x) = x5 + x4 – 2x3 – 2x2 + x + 1.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 92]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .