Каталог по темам

Задачи

Страница: << 179 180 181 182 183 184 185 >> [Всего задач: 1032]

Задача 57159

Темы:	[	Метод ГМТ	]
	[	Задачи на движение	]
	[	Биссектриса угла (ГМТ)	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Точки P и Q движутся с одинаковой постоянной скоростью v по двум прямым, пересекающимся в точке O.
Докажите, что на плоскости существует неподвижная точка A, расстояния от которой до точек P и Q в любой момент времени равны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64457

Темы:	[	Вневписанные окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Швецов Д.В.

Вневписанная окружность, соответствующая вершине A прямоугольного треугольника ABC (∠B = 90°), касается продолжений сторон AB, AC в точках A₁, A₂ соответственно; аналогично определим точки C₁, C₂. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек A, B, C на прямые C₁C₂, A₁C₁, A₁A₂ соответственно, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64653

Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]
	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Бакаев Е.В.

На квадратном столе лежит квадратная скатерть так, что ни один угол стола не закрыт, но с каждой стороны стола свисает треугольный кусок скатерти. Известно, что какие-то два соседних куска равны. Докажите, что и два других куска тоже равны. (Скатерть нигде не накладывается сама на себя, её размеры могут отличаться от размеров стола.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 64736

Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Автор: Ясинский В.

На прямой лежат точки X, Y, Z (именно в таком порядке). Треугольники XAB, YBC, ZCD – правильные, причём вершины первого и третьего ориентированы против часовой стрелки, а второго по часовой стрелке. Докажите, что прямые AC, BD и XY пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64782

Темы:	[	Сфера, описанная около тетраэдра	]
	[	Сферы (прочее)	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Богданов И.И.

Сфера ω проходит через вершину S пирамиды SABC и пересекает рёбра SA, SB и SC вторично в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Сфера Ω, описанная около пирамиды SABC, пересекается с ω по окружности, лежащей в плоскости, параллельной плоскости (ABC). Точки A₂, B₂ и C₂ симметричны точкам A₁, B₁ и C₁ относительно середин рёбер SA, SB и SC соответственно. Докажите, что точки A, B, C, A₂, B₂ и C₂ лежат на одной сфере.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 179 180 181 182 183 184 185 >> [Всего задач: 1032]