а) Назовите 10 первых натуральных чисел, имеющих нечётное число делителей (в число делителей включается единица и само число).

б) Попробуйте сформулировать и доказать правило, позволяющее найти следующие такие числа.

   Решение

Два квадрата расположены так, как показано на рисунке. Докажите, что площади заштрихованных четырёхугольников равны.

   Решение

Гриб называется плохим, если в нём не менее 10 червей. В лукошке 90 плохих и 10 хороших грибов. Могут ли все грибы стать хорошими после того, как некоторые черви переползут из плохих грибов в хорошие?

   Решение

На урок физкультуры пришло $12$ детей, все разной силы. Учитель $10$ раз делил их на две команды по $6$ человек, каждый раз новым способом, и проводил состязание по перетягиванию каната. Могло ли оказаться так, что все $10$ раз состязание закончилось вничью (то есть суммы сил детей в командах были равны)?

   Решение

Что больше:     или  

   Решение

Пусть A₁, B₁ и C₁ - основания перпендикуляров, опущенных из точки P на прямые BC, CA и AB. Треугольник A₁B₁C₁ называют подерным (или педальным) треугольником точки P относительно треугольника ABC.
Пусть A₁B₁C₁ — подерный треугольник точки P относительно треугольника ABC. Докажите, что  B₁C₁ = BC ^. AP/2R, где R — радиус описанной окружности треугольника ABC.

   Решение

Из точки P опущены перпендикуляры PA₁, PB₁ и PC₁ на стороны треугольника ABC. Прямая l_a соединяет середины отрезков PA и B₁C₁. Аналогично определяются прямые l_b и l_c. Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке.

   Решение

Потроить треугольник по сторонам a, b и биссектрисе к стороне c l_c.

   Решение

Пусть a и n – натуральные числа, большие 1. Докажите, что если число  aⁿ + 1  простое, то a чётно и  n = 2^k.
(Числа вида  f_k = 2^2k + 1  называются числами Ферма.)

   Решение

Можно ли провести из одной точки на плоскости пять лучей так, чтобы среди образованных ими углов было ровно четыре острых?
Рассматриваются углы не только между соседними, но и между любыми двумя лучами.

   Решение

Докажите, что для любого тетраэдра его самый маленький двугранный угол (из шести) не больше чем двугранный угол правильного тетраэдра.

   Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 64]      

Докажите, что площадь любой грани тетраэдра меньше суммы площадей трёх остальных его граней.

Прислать комментарий

Решение

Существует ли многогранник, у которого отношение площадей любых двух граней не меньше 2?

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что для любого тетраэдра его самый маленький двугранный угол (из шести) не больше чем двугранный угол правильного тетраэдра.

Прислать комментарий

Решение

Диагонали прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 , вписанного в сферу радиуса R , наклонены к плоскости основания под углом 45^o . Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, которая проходит через диагональ AC1 , параллельна диагонали основания BD и образует с диагональю BD1 угол, равный arcsin .

Прислать комментарий

Решение

Диагонали прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 , вписанного в сферу радиуса R , наклонены к плоскости основания под углом 30^o . Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, которая проходит через диагональ AC1 , параллельна диагонали основания BD и образует с диагональю BD1 угол, равный arcsin .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 64]