Каталог по темам

Задачи

Страница: << 24 25 26 27 28 29 30 >> [Всего задач: 146]

Задача 64921

Темы:	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Формула Эйлера	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Две окружности радиуса 1 пересекаются в точках X, Y, расстояние между которыми тоже равно 1. Из точки C одной окружности проведены к другой касательные CA, CB, вторично пересекающие первую окружность в точках B', A'. Прямые AA' и BB' пересекаются в точке Z. Найдите угол XZY.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108138

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Конкуррентность высот. Углы между высотами.	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Емельянов Л.А.

Пусть A' – точка касания вневписанной окружности треугольника ABC со стороной BC. Прямая a проходит через точку A' и параллельна биссектрисе внутреннего угла A. Аналогично строятся прямые b и c. Докажите, что прямые a, b и c пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116653

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Изогональное сопряжение	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Кунгожин М.

Дан неравнобедренный треугольник ABC. Пусть N – середина дуги BAC его описанной окружности, а M – середина стороны BC. Обозначим через I₁ и I₂ центры вписанных окружностей треугольников ABM и ACM соответственно. Докажите, что точки I₁, I₂, A, N лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115897

Темы:	[	Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч.	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Две пары подобных треугольников	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Блинков А.Д.

Середина стороны треугольника и основание высоты, проведённой к этой стороне, симметричны относительно точки касания этой стороны с вписанной окружностью. Докажите, что эта сторона составляет треть периметра треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64809

Темы:	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Медиана, проведенная к гипотенузе	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Автор: Полянский А.

Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC, M, N – середины дуг ABC и BAC описанной окружности.
Докажите, что точки M, I, N лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда AC + BC = 3AB.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 24 25 26 27 28 29 30 >> [Всего задач: 146]