Вписанная окружность $\omega$ прямоугольного треугольника $ABC$ касается окружности, проходящей через середины его сторон, в точке $F$. Из середины $O$ гипотенузы $AB$ проведена касательная $OE$ к $\omega$, отличная от $AB$. Докажите, что $CE=CF$.

   Решение

В угол вписаны две окружности ω и Ω. Прямая l пересекает стороны угла в точках A и F, окружность ω в точках B и C, окружность Ω в точках D и E (порядок точек на прямой – A, B, C, D, E, F). Пусть  BC = DE.  Докажите, что  AB = EF.

   Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 127]      

Во вписанном четырехугольнике $ABCD$ с точкой пересечения диагоналей $P$ на отрезках $AC$, $BD$ отмечены точки $K$ и $L$ соответственно. При этом $CK = AP$ и $DL = BP$. Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения окружностей $ALC$ и $BKD$, содержит центр масс четырехугольника $ABCD$.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC угол B равен 45^o, угол C равен 30^o. На медианах BM и CN как на диаметрах построены окружности, пересекающиеся в точках P и Q. Хорда PQ пересекает сторону BC в точке D. Найдите отношение отрезков BD и DC.

Прислать комментарий

Решение

В остроугольном треугольнике ABC угол C равен 60^o. На медианах BM и CN как на диаметрах построены окружности, пересекающиеся в точках P и Q. Хорда PQ пересекает сторону BC в точке D, причём BD : DC = . Найдите угол B.

Прислать комментарий

Решение

В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания BC, угол A равен 30^o, угол D равен 60^o. На диагоналях трапеции как на диаметрах построены окружности, пересекающиеся в точках K и L. Найдите отношение площадей четырёхугольников, на которые хорда KL разбивает трапецию ABCD.

Прислать комментарий

Решение

В угол вписаны две окружности ω и Ω. Прямая l пересекает стороны угла в точках A и F, окружность ω в точках B и C, окружность Ω в точках D и E (порядок точек на прямой – A, B, C, D, E, F). Пусть  BC = DE.  Докажите, что  AB = EF.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 127]