Страница:
<< 11 12 13 14
15 16 17 >> [Всего задач: 122]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Пусть I – центр вписанной окружности неравнобедренного треугольника ABC. Через A1 обозначим середину дуги BC описанной окружности треугольника ABC, не содержащей точки A, а через A2 – середину дуги BAC. Перпендикуляр, опущенный из точки A1 на прямую A2I, пересекает прямую BC в точке A'. Аналогично определяются точки B' и C'.
а) Докажите, что точки A', B' и C' лежат на одной прямой.
б) Докажите, что эта прямая перпендикулярна прямой OI, где O – центр описанной окружности треугольника ABC.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
Четырёхугольник ABCD без параллельных сторон вписан в окружность.
Для каждой пары касающихся окружностей, одна из которых имеет хорду AB,
а другая – хорду CD, отметим их точку касания X. Докажите,
что все такие точки X лежат на одной окружности.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ ($AD > BC$) пересекаются в точке $P$. На отрезке $AD$ нашлась такая точка $Q$, что $BQ=CQ$. Докажите, что линия центров окружностей, описанных около треугольников $AQC$ и $BQD$, перпендикулярна прямой $PQ$.
На плоскости даны три попарно пересекающиеся окружности, центры которых не лежат на одной прямой.
Докажите, что прямые, содержащие три общие хорды каждой пары этих окружностей пересекаются в одной точке.
Две окружности пересекаются в точках A и B. Хорда CD первой окружности имеет с хордой EF второй окружности общую точку M.
Известно, что BM = 2, AB = 3CM = 9EM, MD = 2CM, MF = 6CM. Какие значения может принимать длина отрезка AM?
Страница:
<< 11 12 13 14
15 16 17 >> [Всего задач: 122]
Фильтр
