Страница:
<< 11 12 13 14
15 16 17 >> [Всего задач: 127]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
В треугольнике $ABC$ чевианы $AP$ и $AQ$ симметричны относительно биссектрисы. Точки $X$, $Y$ – проекции $B$ на $AP$ и $AQ$ соответственно, а точки $N$ и $M$ – проекции $C$ на $AP$ и $AQ$ соответственно. Докажите, что $XM$ и $NY$ пересекаются на $BC$.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Пусть $E$ – проекция вершины $C$ прямоугольника $ABCD$ на диагональ $BD$. Докажите, что общие внешние касательные к окружностям $AEB$ и $AED$ пересекаются на окружности $AEC$.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Окружности σB, σC – вневписанные для треугольника ABC (касаются соответственно сторон
AC и AB и продолжений двух других сторон). Окружность ωB симметрична σB относительно середины стороны AC, окружность ωC симметрична σC относительно середины стороны AB. Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения окружностей ωB и ωC, делит периметр треугольника ABC пополам.
Дан равнобедренный треугольник
ABC (
AB=BC ).
Выбрана точка
X на стороне
AC . Окружность проходит
через точку
X , касается стороны
AC и пересекает
описанную окружность треугольника
ABC в таких
точках
M и
N , что прямая
MN делит отрезок
BX
пополам и пересекает стороны
AB и
BC в точках
P и
Q . Докажите, что описанная окружность
треугольника
BPQ проходит через центр описанной
окружности треугольника
ABC .
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Пусть $I$ – центр вписанной окружности неравнобедренного треугольника $ABC$. Через $A_1$ обозначим середину дуги $BC$ описанной окружности треугольника $ABC$, не содержащей точки $A$, а через $A_2$ – середину дуги $BAC$. Перпендикуляр, опущенный из точки $A_1$ на прямую $A_2I$, пересекает прямую $BC$ в точке $A'$. Аналогично определяются точки $B'$ и $C'$.
а) Докажите, что точки $A'$, $B'$ и $C'$ лежат на одной прямой.
б) Докажите, что эта прямая перпендикулярна прямой $OI$, где $O$ – центр описанной окружности треугольника $ABC$.
Страница:
<< 11 12 13 14
15 16 17 >> [Всего задач: 127]
Фильтр
