Каталог по темам

Задачи

Страница: << 148 149 150 151 152 153 154 >> [Всего задач: 769]

Задача 111598

Темы:	[	Точка Микеля	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Медиана, проведенная к гипотенузе	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Точки A', B' и C' – середины сторон соответственно BC, CA и AB треугольника ABC, а BH – его высота.
Докажите, что если описанные окружности треугольников AHC' и CHA' окружности проходят через точку M, то ∠ABM = ∠CBB'.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64772

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Точка Микеля	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Кунгожин М.

Треугольник ABC (AB > BC) вписан в окружность Ω. На сторонах AB и BC выбраны точки M и N соответственно так, что AM = CN. Прямые MN и AC пересекаются в точке K. Пусть P – центр вписанной окружности треугольника AMK, а Q – центр вневписанной окружности треугольника CNK, касающейся стороны CN. Докажите, что середина дуги ABC окружности Ω равноудалена от точек P и Q.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66679

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности)	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Ивлев Ф.

Дан описанный четырёхугольник $ABCD$. Докажите, что точка пересечения диагоналей, центр вписанной окружности треугольника $ABC$ и центр вневписанной окружности треугольника $CDA$, касающейся стороны $AC$ лежат на одной прямой.

Прислать комментарий Решение

Задача 58451

[Теорема Паскаля]

Темы:	[	Теорема Паскаля	]
	[	Применение проективных преобразований, сохраняющих окружность	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Две пары подобных треугольников	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

В окружность S вписан шестиугольник ABCDEF. Докажите, что точки пересечения прямых AB и DE, BC и EF, CD и FA лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65046

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Теорема о группировке масс	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Ромбы. Признаки и свойства	]
	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Авторы: Заславский А.А., Белухов Н.

Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром I. Точки M и N – середины диагоналей AC и BD.
Докажите, что четырёхугольник ABCD – вписанный тогда и только тогда, когда IM : AC = IN : BD.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 148 149 150 151 152 153 154 >> [Всего задач: 769]