В треугольнике ABC угол C равен 90^o , cos A = , BC = 1 . Найдите AB .

   Решение

Пусть BM – медиана остроугольного треугольника ABC. Касательная в точке A к описанной окружности треугольника ABM, и касательная в точке C к описанной окружности треугольника BCM, пересекаются в точке D. Докажите, что точка K, симметричная точке D относительно прямой AC лежит на прямой BM.

   Решение

В пространстве дан треугольник ABC и сферы S₁ и S₂, каждая из которых проходит через точки A, B и C. Для точек M сферы S₁, не лежащих в плоскости треугольника ABC, проводятся прямые MA, MB и MC, пересекающие сферу S₂ вторично в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Докажите, что плоскости, проходящие через точки A₁, B₁ и C₁, касаются фиксированной сферы либо проходят через фиксированную точку.

   Решение

Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 149]      

В пространстве дан треугольник ABC и сферы S₁ и S₂, каждая из которых проходит через точки A, B и C. Для точек M сферы S₁, не лежащих в плоскости треугольника ABC, проводятся прямые MA, MB и MC, пересекающие сферу S₂ вторично в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Докажите, что плоскости, проходящие через точки A₁, B₁ и C₁, касаются фиксированной сферы либо проходят через фиксированную точку.

Прислать комментарий

Решение

Дан неравнобедренный остроугольный треугольник ABC. Точки A₁, A₂ симметричны основаниям внутренней и внешней биссектрис угла A относительно середины стороны BC. На отрезке A₁A₂ как на диаметре построена окружность α. Аналогично определяются окружности β и γ. Докажите, что эти три окружности пересекаются в двух точках.

Прислать комментарий

Решение

В пространстве даны две пересекающиеся сферы разных радиусов и точка A, принадлежащая обеим сферам. Докажите, что в пространстве существует точка B, обладающая следующим свойством: если через точки A и B провести произвольную окружность, то точки ее повторного пересечения с данными сферами будут равноудалены от B.

Прислать комментарий

Решение

Даны две окружности. Общая внешняя касательная касается их в точках A и B . Точки X , Y на окружностях таковы, что существует окружность, касающаяся данных в этих точках, причем одинаковым образом (внешним или внутренним). Найдите геометрическое место точек пересечения прямых AX и BY .

Прислать комментарий

Решение

Опустить из данной точки A вне прямой l перпендикуляр на эту прямую, проведя не более трёх линий? (Третьей линией должен быть перпендикуляр.)

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 149]