Страница:
<< 182 183 184 185
186 187 188 >> [Всего задач: 1005]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Окружность с центром I, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC, CA, AB в точках A1, B1, C1 соответственно. Пусть Ia, Ib, Ic – центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся соответственно сторон BC, CA, AB. Отрезки IaB1 и IbA1 пересекаются в точке C2. Аналогично отрезки IbC1 и IcB1 пересекаются в точке A2, а отрезки IcA1 и IaC1 – в точке B2. Докажите, что I является центром описанной окружности треугольника A2B2C2.
Дан правильный треугольник ABC, площадь которого равна 1, и точка P на его описанной окружности. Прямые AP, BP, CP пересекают соответственно прямые BC, CA, AB в точках A', B', C'. Найдите площадь треугольника A'B'C'.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
В треугольнике ABC точки A1, B1 и C1 – середины сторон BC, CA и AB соответственно. Точки B2 и C2 – середины отрезков BA1 и CA1 соответственно. Точка B3 симметрична C1 относительно B, а точка C3 симметрична B1 относительно C. Докажите, что одна из точек пересечения описанных окружностей треугольников BB2B3 и CC2C3 лежит на описанной окружности треугольника ABC.
В остроугольном треугольнике ABC углы B и C больше 60°. Точки P, Q на сторонах AB, AC таковы, что A, P, Q и ортоцентр треугольника H лежат на одной окружности; K – середина отрезка PQ. Докажите, что ∠BKC > 90°.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Биссектрисы $AA_1, BB_1, CC_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $I$.
Серединный перпендикуляр к отрезку $BB_1$ пересекает прямые $AA_1$, $CC_1$ в точках $A_0$, $C_0$. Докажите, что описанные окружности треугольников
$A_0IC_0$ и $ABC$ касаются.
Страница:
<< 182 183 184 185
186 187 188 >> [Всего задач: 1005]
Фильтр
Решение 
