Версия для печати
Убрать все задачи

---

Среди всех таких чисел n, что любой выпуклый 100-угольник можно представить в виде пересечения (т. е. общей части) n треугольников, найдите наименьшее.

   Решение

---

На плоскости расположено 20 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, из них 10 синих и 10 красных.
Докажите, что можно провести прямую, по каждую сторону которой лежит пять синих и пять красных точек.

   Решение

---

Постройте треугольник по стороне, противолежащему углу и сумме двух других сторон.

   Решение

---

В основании четырехугольной пирамиды лежит ромб ABCD, в котором BAD = 60^o. Известно, что SD = SB, SA = SC = AB. На ребре DC взята точка E так, что площадь треугольника BSE наименьшая среди площадей всех сечения пирамиды, содержащих отрезок BS и пересекающих отрезок DC. Найдите отношение DE : EC.

   Решение

---

Назовём натуральное число хорошим, если в его десятичной записи встречаются подряд цифры 1, 9, 7, 3, и плохим — в противном случае. (Например, число 197 639 917 — плохое, а 116 519 732 — хорошее.) Докажите, что существует такое натуральное число n, что среди всех n-значных чисел (от 10^{n – 1} до 10ⁿ – 1) больше хороших, чем плохих.

Постарайтесь найти возможно меньшее такое n.

   Решение

---

Около окружности радиуса R описана равнобедренная трапеция ABCD. E и K – точки касания этой окружности с боковыми сторонами трапеции. Угол между основанием AB и боковой стороной AD трапеции равен 60°. Докажите, что  EK || AB  и найдите площадь трапеции ABKE.

   Решение

---

В прямоугольном треугольнике ABC с равными катетами AC и BC на стороне AC как на диаметре построена окружность, пересекающая сторону AB в точке M. Найдите расстояние от вершины B до центра этой окружности, если BM = .

   Решение

---

Пусть c — наибольшая сторона треугольника со сторонами a, b, c. Докажите, что если a² + b² > c², то треугольник остроугольный, а если a² + b² < c², — тупоугольный.

   Решение

---

Решите уравнение  2 sin ^πx/₂ – 2 cos πx = x⁵ + 10x – 54.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 36]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65480

Темы:   [ Тригонометрические уравнения ] [ Возрастание и убывание. Исследование функций ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Решите уравнение  2 sin ^πx/₂ – 2 cos πx = x⁵ + 10x – 54.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109177

Темы:   [ Тригонометрические уравнения ] [ Методы решения задач с параметром ] [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Доказать, что каковы бы ни были числа a, b, c, по крайней мере одно из уравнений
    a sin x + b cos x + c = 0,   2a tg x + b ctg x + 2c = 0
имеет решение.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110125

Темы:   [ Тригонометрические уравнения ] [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Найдите все углы α , для которых набор чисел sinα , sin2α , sin3α совпадает с набором cosα , cos2α , cos3α .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61167

Темы:   [ Тригонометрические уравнения ] [ Квадратные корни (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Решите уравнения при 0^o < x < 90^o:

a)  + = 2;

б)  + = ;

в)  + = .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109152

Темы:   [ Тригонометрические уравнения ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Сколько корней имеет уравнение sin x=x/100 ?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 36]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями