Версия для печати
Убрать все задачи

---

Имеется 30 человек, некоторые из них знакомы. Доказать, что число человек, имеющих нечётное число знакомых, чётно.

   Решение

---

Существует ли выпуклый многогранник, имеющий 12 рёбер, которые соответственно равны и параллельны 12 диагоналям граней куба?

   Решение

---

Витя выложил из карточек с цифрами пример на сложение и затем поменял местами две карточки. Как видите, равенство нарушилось. Какие карточки переставил Витя?

   Решение

---

Пусть AE и CD – биссектрисы треугольника ABC,  ∠BED = 2∠AED  и  ∠BDE = 2∠EDC.  Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.

   Решение

---

Решите уравнение

   Решение

---

В воздушном пространстве находятся облака. Оказалось, что пространство можно разбить десятью плоскостями на части так, чтобы в каждой из частей находилось не более одного облака. Через какое наибольшее число облаков мог пролететь самолет, придерживаясь прямолинейного курса?

   Решение

---

Докажите, что числа Фибоначчи {F_n} удовлетворяют соотношению

Получите отсюда равенство

   Решение

---

На плоскости даны два равных многоугольника F и F'. Известно, что все вершины многоугольника F принадлежат F' (могут лежать внутри него или на границе). Верно ли, что все вершины этих многоугольников совпадают?

   Решение

---

Квадрат ABCD вращается вокруг своего неподвижного центра. Найдите геометрическое место середин отрезков PQ, где P — основание перпендикуляра, опущенного из точки D на неподвижную прямую l, а Q — середина стороны AB.

   Решение

---

Докажите равенство:

   Решение

---

Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон BC, CA и AB в точках A', B' и C'. Известно, что  AA' = BB' = CC'.
Обязательно ли треугольник ABC правильный?

   Решение

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 793]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65195

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Точки O и I – центры описанной и вписанной окружностей неравнобедренного треугольника ABC. Две равные окружности касаются сторон AB, BC и AC, BC соответственно; кроме этого, они касаются друг друга в точке K. Оказалось, что K лежит на прямой OI. Найдите ∠BAC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65556

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон BC, CA и AB в точках A', B' и C'. Известно, что  AA' = BB' = CC'.
Обязательно ли треугольник ABC правильный?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65647

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ] [ Параллелограмм Вариньона ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Прямая, проходящая через центр I вписанной окружности треугольника ABC, перпендикулярна AI и пересекает стороны AB и AC в точках C' и B' соответственно. В треугольниках BC'I и CB'I провели высоты C'C₁ и B'B₁ соответственно. Докажите, что середина отрезка B₁C₁ лежит на прямой, проходящей через точку I и перпендикулярной BC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65794

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Из середины M стороны AC треугольника ABC опущены перпендикуляры MD и ME на стороны AB и BC соответственно. Около треугольников ABE и BCD описаны окружности. Докажите, что расстояние между центрами этих окружностей равно ^AC/₄.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65963

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

СН – высота остроугольного треугольника АВС, О – центр его описанной окружности. Точка Т – проекция вершины С на прямую АО.
В каком отношении прямая ТН делит сторону ВС?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 793]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями