Равносторонний треугольник ABC вписан в окружность Ω и описан вокруг окружности ω. На сторонах AC и AB выбраны точки P и Q соответственно так, что отрезок PQ проходит через центр O треугольника ABC. Окружности Г_b и Г_c построены на отрезках BP и CQ как на диаметрах.
Докажите, что окружности Г_b и Г_c пересекаются в двух точках, одна из которых лежит на Ω, а другая – на ω.

   Решение

Страница: << 150 151 152 153 154 155 156 >> [Всего задач: 829]      

В выпуклой n-угольной призме равны все боковые грани. При каких n эта призма обязательно прямая?

Прислать комментарий

Решение

В остроугольном треугольнике ABC угол C равен 60°, H – точка пересечения высот. Окружность с центром H и радиусом HC второй раз пересекает прямые CA и CB в точках M и N соответственно. Докажите, что прямые AN и BM параллельны (или совпадают).

Прислать комментарий

Решение

Дан треугольник ABC и прямая l, пересекающая прямые BC, AC, AB в точках L_a, L_b, L_c. Перпендикуляр, восставленный из точки L_a к BC, пересекает AB и AC в точках A_b и A_c соответственно. Точка O_a – центр описанной окружности треугольника AA_bA_c. Аналогично определим O_b и O_c. Докажите, что O_a, O_b и O_c лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Равносторонний треугольник ABC вписан в окружность Ω и описан вокруг окружности ω. На сторонах AC и AB выбраны точки P и Q соответственно так, что отрезок PQ проходит через центр O треугольника ABC. Окружности Г_b и Г_c построены на отрезках BP и CQ как на диаметрах.
Докажите, что окружности Г_b и Г_c пересекаются в двух точках, одна из которых лежит на Ω, а другая – на ω.

Прислать комментарий

Решение

Неравнобедренный треугольник ABC, в котором  ∠C = 60°,  вписан в окружность Ω. На биссектрисе угла A выбрана точка A', а на биссектрисе угла B – точка B' так, что  AB' || BC  и  B'A || AC.  Прямая A'B' пересекает Ω в точках D и E. Докажите, что треугольник CDE равнобедренный.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 150 151 152 153 154 155 156 >> [Всего задач: 829]