Каталог по темам

Задачи

Страница: << 18 19 20 21 22 23 24 >> [Всего задач: 117]

Задача 64882

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Ясинский В.

Окружности ω₁ и ω₂ касаются друг друга внешним образом в точке P. Из точки A окружности ω₂, не лежащей на линии центров окружностей, проведены касательные AB, AC к ω₁. Прямые BP, CP вторично пересекают ω₂ в точках E и F. Докажите, что прямая EF, касательная к ω₂ в точке A, и общая касательная к окружностям в точке P пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65371

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Теорема синусов	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Авторы: Якубов А., Крутовский Р.

Дан фиксированный треугольник ABC. По его описанной окружности движется точка P так, что хорды BC и AP пересекаются. Прямая AP разрезает треугольник BPC на два меньших, центры вписанных окружностей которых обозначим через I₁ и I₂ соответственно. Прямая I₁I₂ пересекает прямую BC в точке Z. Докажите, что все прямые ZP проходят через фиксированную точку.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66313

Темы:	[	Вневписанные окружности	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Фролов И.И.

Пусть AK и BL – высоты остроугольного треугольника ABC, а Ω – вневписанная окружность ABC, касающаяся стороны AB. Общие внутренние касательные к описанной окружности ω треугольника CKL и окружности Ω пересекают прямую AB в точках P и Q. Докажите, что AP = BQ.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66169

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Углы между биссектрисами	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Прямые, касающиеся окружностей (прочее)	]
	[	Метрические соотношения (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Кузнецов А.

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Обозначим через I_A, I_B, I_C и I_D центры вписанных окружностей ω_A, ω_B, ω_C и ω_D треугольников DAB, ABC, BCD и CDA соответственно. Оказалось, что ∠BI_AA + ∠I_CI_AI_D = 180°. Докажите, что ∠BI_BA + ∠I_CI_BI_D = 180°.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66815

Темы:	[	ГМТ - прямая или отрезок	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Tran Quang Hung

Пусть $P$ – произвольная точка на стороне $BC$ треугольника $ABC$, $K$ – центр вписанной окружности треугольника $PAB$, а $F$ – точка касания вписанной окружности треугольника $PAC$ со стороной $BC$. Точка $G$ на $CK$ такова, что $FG\parallel PK$. Найдите геометрическое место точек $G$.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 18 19 20 21 22 23 24 >> [Всего задач: 117]