Каталог по темам

Задачи

Страница: << 48 49 50 51 52 53 54 >> [Всего задач: 484]

Задача 64467

Темы:	[	Построения одной линейкой	]
	[	Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч.	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Френкин Б.Р.

На каждой стороне треугольника ABC отмечены две различные точки. Известно, что это основания высот и биссектрис.

а) Пользуясь только линейкой без делений, определите, где высоты, а где биссектрисы.

б) Решите пункт а), проведя только три прямых.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65018

Темы:	[	Построение треугольников по различным элементам	]
	[	Симметрия и построения	]
	[	Метод ГМТ	]
	[	Применение проективных преобразований прямой в задачах на построение	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Фольклор

Постройте треугольник по высоте и биссектрисе, проведённым из одной вершины, и медиане, проведённой из другой вершины.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66274

Темы:	[	Построение треугольников по различным точкам	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Точка Лемуана	]
	[	Проективные преобразования плоскости	]
	[	Применение проективных преобразований прямой в задачах на построение	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Автор: Заславский А.А.

Постройте треугольник по вершине A, центру O описанной окружности и точке Лемуана L.

Прислать комментарий

Решение

Задача 102737

Темы:	[	Построение треугольников по различным элементам	]
Темы:	[	Окружность Ферма-Аполлония	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по его биссектрисе и отрезкам, на которые она делит сторону треугольника.

Пусть нужный треугольник ABC построен, CD = l_c — данная биссектриса, BD = a' и AD = b' — данные отрезки, на которые она делит сторону AB. Обозначим BC = a, AC = b.

Первый способ.

По формуле для квадрата биссектрисы треугольника (рис.1)

l_c² = AD² = BC^.AC - BD^.AD = ab - a'b'.

По свойству биссектрисы треугольника

$\displaystyle {\frac{a'}{b'}}$ = $\displaystyle {\frac{BD}{AD}}$ = $\displaystyle {\frac{BC}{AC}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{b}}$ .

Отсюда вытекает следующее построение. По данным отрезкам a' и b' строим отрезок x = $\sqrt{a'b'}$ — среднее геометрическое отрезков a' и b'. Зная отрезок x и данный отрезок l_c, строим отрезки

y = $\displaystyle \sqrt{ab}$ = $\displaystyle \sqrt{l_{c}^{2}+ a'b'}$ = $\displaystyle \sqrt{l_{c}^{2}+ x^{2}}$ и , z = $\displaystyle {\frac{a'}{b'}}$ ^.y.

Поскольку

a² = $\displaystyle {\frac{a}{b}}$ ^.ab = $\displaystyle {\frac{a'}{b'}}$ ^.y²,

то можно построить отрезок

a = $\displaystyle \sqrt{\frac{a'}{b'}\cdot y^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{a'}{b'}\cdot y\cdot y}$ = $\displaystyle \sqrt{z\cdot y}$ .

По известным отрезкам a, a' и l_c строим треугольник BCD. Далее очевидно.

Второй способ.

Известно, что геометрическое место точек, отношение расстояний от каждой из которых до двух заданных точек A и B постоянно и отлтчно от 1, есть окружность (окружность Аполлония).

Пусть a' > b'. Тогда биссектриса внешнего угла при вершине C пересекает продолжение стороны BA за точку A (рис.2). Обозначим точку пересечения через E. Тогда по свойству биссектрисы внешнего угла треугольника

$\displaystyle {\frac{BE}{AE}}$ = $\displaystyle {\frac{BC}{AC}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{b}}$ = $\displaystyle {\frac{a'}{b'}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle {\frac{AE}{AB}}$ = $\displaystyle {\frac{b'}{a'-b'}}$ .

Значит, можно построить отрезок

AE = AB^. $\displaystyle {\frac{b'}{a'-b'}}$ = $\displaystyle {\frac{(a'+b')\cdot b'}{a'-b'}}$ .

(Отрезок DE виден из искомой точки C под прямым углом.) Далее на отрезке AB строим как на диаметре окружность — окружность Аполлония для точек A и B и отношения ${\frac{a'}{b'}}$ . Тогда искомая вершина C — это точка пересечения построенной окружности с окружностью с центром D и радиусом l_c.

Прислать комментарий Решение

Задача 116134

Темы:	[	Построение треугольников по различным точкам	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Метод ГМТ	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Автор: Заславский А.А.

Bосстановите остроугольный треугольник по ортоцентру и серединам двух сторон.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 48 49 50 51 52 53 54 >> [Всего задач: 484]