Стороны треугольника равны 5, 6 и 7. Найдите площадь ортогональной проекции треугольника на плоскость, которая образует с плоскостью треугольника угол, равный наименьшему углу этого треугольника.

   Решение

Докажите, что:
а)  rp = r_a(p - a), rr_a = (p - b)(p - c) и  r_br_c = p(p - a);
б)  S² = p(p - a)(p - b)(p - c)     (формула Герона);
в)  S² = rr_ar_br_c.

   Решение

Два угла треугольника равны 50^o и 100^o. Под каким углом видна каждая сторона треугольника из центра вписанной окружности?

   Решение

Докажите, что:
а)  a = r(ctg(/2) + ctg(/2)) = r cos(/2)/(sin(/2)sin(/2));
б)  a = r_a(tg(/2) + tg(/2)) = r_acos(/2)/(cos(/2)cos(/2));
в)  p - b = rctg(/2) = r_atg(/2);
г)  p = r_actg(/2).

   Решение

К плоскости приклеены два непересекающихся деревянных круга одинакового размера – серый и чёрный. Дан деревянный треугольник, одна сторона которого серая, а другая – чёрная. Его передвигают так, чтобы круги были снаружи треугольника, причём серая сторона касалась серого круга, а чёрная – чёрного (касание происходит не в вершинах). Докажите, что прямая, содержащая биссектрису угла между серой и чёрной сторонами, всегда проходит через одну и ту же точку плоскости.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 46]      

В остроугольном треугольнике $ABC$ отмечены точки $I$ и $O$ — центры вписанной и описанной окружностей соответственно. Прямые $AI$ и $CI$ вторично пересекают описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $N$ и $M$. Отрезки $MN$ и $BO$ пересекаются в точке $X$. Докажите, что прямые $XI$ и $AC$ перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

К плоскости приклеены два непересекающихся деревянных круга одинакового размера – серый и чёрный. Дан деревянный треугольник, одна сторона которого серая, а другая – чёрная. Его передвигают так, чтобы круги были снаружи треугольника, причём серая сторона касалась серого круга, а чёрная – чёрного (касание происходит не в вершинах). Докажите, что прямая, содержащая биссектрису угла между серой и чёрной сторонами, всегда проходит через одну и ту же точку плоскости.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC  ( AB < BC)  точка I – центр вписанной окружности, M – середина стороны AC, N – середина дуги ABC описанной окружности.
Докажите, что  ∠IMA = ∠INB.

Прислать комментарий

Решение

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, M – точка пересечения его диагоналей, O₁ и O₂ – центры вписанных окружностей треугольников ABM и CMD соответственно, K – середина дуги AD, не содержащей точек B и C,  ∠O₁KO₂ = 60°,  KO₁ = 10.  Найдите O₁O₂.

Прислать комментарий

Решение

Продолжение биссектрисы AD остроугольного треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке E. Из точки D на стороны AB и AC опущены перпендикуляры DP и DQ. Докажите, что  S_ABC = S_APEQ.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 46]