Представим себе большой куб, склеенный из 27 меньших кубиков. Термит садится на центр грани одного из наружных кубиков и начинает прогрызать ход. Побывав в кубике, термит к нему уже не возвращается. Движется он при этом всегда параллельно какому-нибудь ребру большого куба. Может ли термит прогрызть все 26 внешних кубиков и закончить свой ход в центральном кубике? Если возможно, покажите, каким должен быть путь термита.

   Решение

В треугольнике ABC  AB – BC = .  Пусть M – середина стороны AC, а BN – биссектриса.  Докажите, что  ∠BMC + ∠BNC = 90°.

   Решение

Окружность $\omega$, вписанная в треугольник $ABC$, касается сторон $BC$, $CA$ и $AB$ в точках $D$, $E$ и $F$ соответственно. Перпендикуляр из $E$ на $DF$ пересекает прямую $BC$ в точке $X$, а перпендикуляр из $F$ на $DE$ пересекает $BC$ в точке $Y$. Отрезок $AD$ пересекает $\omega$ во второй раз в точке $Z$. Докажите, что описанная окружность треугольника $XYZ$ касается $\omega$.

   Решение

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 149]      

Из точки A к окружности радиусом R проводится касательная AM (M — точка касания). Секущая, проходящая через точку A, пересекает окружность в точках K и L, причём L — середина отрезка AK, а угол AMK равен 60^o. Найдите площадь треугольника AMK.

Прислать комментарий

Решение

Равнобедренная трапеция с основаниями AD и BC ( AD > BC ) описана около окружности, которая касается стороны CD в точке M . Отрезок AM пересекает окружность в точке N . Найдите отношение AD к BC , если AN:NM = k .

Прислать комментарий

Решение

Окружность, вписанная в треугольник ABC , делит медиану BM на три равные части. Найдите отношение BC:CA:AB .

Прислать комментарий

Решение

Окружность $\omega$, вписанная в треугольник $ABC$, касается сторон $BC$, $CA$ и $AB$ в точках $D$, $E$ и $F$ соответственно. Перпендикуляр из $E$ на $DF$ пересекает прямую $BC$ в точке $X$, а перпендикуляр из $F$ на $DE$ пересекает $BC$ в точке $Y$. Отрезок $AD$ пересекает $\omega$ во второй раз в точке $Z$. Докажите, что описанная окружность треугольника $XYZ$ касается $\omega$.

Прислать комментарий

Решение

В равнобедренную трапецию ABCD ( AB=CD ) вписана окружность. Пусть M – точка касания окружности со стороной CD , K – точка пересечения окружности с отрезком AM , L – точка пересечения окружности с отрезком BM . Вычислите величину + .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 149]