Тема:
Все темы
>>
Алгебра и арифметика
>>
Алгебраические неравенства и системы неравенств
>>
Квадратичные неравенства (несколько переменных)
Фильтр
Выбрано 20 задач Убрать все задачи
Известно, что среди нескольких монет имеется ровно одна фальшивая
(отличается по весу от настоящих). С помощью двух взвешиваний на чашечных
весах без гирь определите, легче или тяжелее фальшивая монета настоящей
(находить ее не надо), если монет
а) 100;
б) 99;
в) 98?
В квадрате со стороной 1 проведено конечное количество отрезков, параллельных его сторонам. Отрезки могут пересекать друг друга. Сумма длин проведенных отрезков равна 18. Докажите, что среди частей, на которые разбивается квадрат этими отрезками, найдётся такая, площадь которой не меньше 0,01.
Докажите равенство
Внутри равностороннего треугольника со стороной 1
расположено пять точек. Докажите, что расстояние между
некоторыми двумя из них меньше 0, 5.
Вычислите производящие функции следующих последовательностей:
а) б)
Даны два набора из n вещественных чисел: a1, a2, ..., an и b1, b2, ..., bn. Докажите, что если выполняется хотя бы одно из двух условий:
а) из ai < aj следует, что bi ≤ bj;
б) из ai < a < aj, где a = 1/n (a1 + a2 + ... + an), следует, что bi ≤ bj,
то верно неравенство n(a1 b1 + a2b2 + ... + anbn) ≥ (a1 + a2 + ... + an)(b1 + b2 + ... + bn).
Какое слагаемое в разложении (1 + )100 по формуле бинома Ньютона будет наибольшим?
В разложении (x + y)n по формуле бинома Ньютона второй член оказался равен 240, третий – 720, а четвёртый – 1080. Найдите x, y и n.
Докажите, что если p – простое число и 1 ≤ k ≤ p – 1, то делится на p.
На плоскости даны 25 точек; известно, что из любых трёх точек можно выбрать две, расстояние между которыми меньше 1. Доказать, что среди данных точек найдутся 13, лежащие в круге радиуса 1.
На координатной плоскости отмечены некоторые точки с целыми координатами. Известно, что никакие четыре из них не лежат на одной окружности. Докажите, что найдётся круг радиуса 1995, в котором не отмечено ни одной точки.
Маляр-хамелеон ходит по клетчатой доске как хромая ладья (на одну клетку по вертикали или горизонтали). Попав в очередную клетку, он либо перекрашивается в её цвет, либо перекрашивает клетку в свой цвет. Белого маляра-хамелеона кладут на чёрную доску размером 8×8 клеток. Сможет ли он раскрасить её в шахматном порядке?
a1, a2, ..., an – такие числа, что a1 + a2 + ... + an = 0. Доказать, что в этом случае справедливо соотношение S = a1a2 + a1a3 + ... + an–1an ≤ 0
(в сумму S входят все возможные произведения aiaj, i ≠ j).
На контрольной работе учитель дал пять задач и ставил за контрольную оценку, равную количеству решённых задач. Все ученики, кроме Пети, решили одинаковое число задач, а Петя – на одну больше. Первую задачу решили 9 человек, вторую – 7 человек, третью – 5 человек, четвёртую – 3 человека, пятую – один человек. Сколько четвёрок и пятерок было получено на контрольной?
Докажите, что каждое число a в треугольнике Паскаля равно
а) сумме чисел предыдущей правой диагонали, начиная с самого левого вплоть до стоящего справа над числом a.
б) сумме чисел предыдущей левой диагонали, начиная с самого правого вплоть до стоящего слева над числом a.
Имеется куб размером 10×10×10, состоящий из маленьких единичных кубиков. В центре О одного из угловых кубиков сидит кузнечик. Он может прыгать в центр кубика, имеющего общую грань с тем, в котором кузнечик находится в данный момент, причем так, чтобы расстояние до точки О увеличивалось. Сколькими способами кузнечик может допрыгать до кубика, противоположного исходному?
Докажите, что каждое число a в треугольнике Паскаля, уменьшенное на 1, равно сумме всех чисел, заполняющих параллелограмм, ограниченный теми правой и левой диагоналями, на пересечении которых стоит число a (сами эти диагонали в рассматриваемый параллелограмм не включаются).
Докажите, что
а) x1, x2, x3, x4, x5 – положительные числа. Докажите, что квадрат суммы этих чисел не меньше учетверённой суммы произведений x1x2, x2x3, x3x4, x4x5 и x5x1.
б) При каком наибольшем cn для любых неотрицательных x1, ..., xn верно неравенство (x1 + x2 + ... + xn)² ≥ cn(x1x2 + x2x3 + ... + xnx1)
(в правой части n слагаемых)?
Задачи Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 43]
Задача 111800 |
|
|
Числа x1, x2, ..., xn таковы, что x1 ≥ x2 ≥ ... ≥ xn ≥ 0 и Докажите, что
|
|
Решение |
Задача 73631 |
|
|
Про пять положительных чисел известно, что если из суммы любых трёх из них вычесть сумму двух оставшихся, то разность будет положительной. Докажите, что произведение всех десяти таких разностей не превосходит квадрата произведения данных пяти чисел.
|
|
|
Решение |
Задача 79458 |
|
|
По кругу расставлено не менее четырёх неотрицательных чисел, в сумме равных
единице.
Докажите, что сумма всех попарных произведений соседних чисел не
больше ¼.
|
|
|
Решение |
Задача 111043 |
|
|
Пусть x1≤⋯≤xn. Докажите неравенство (n∑i,j=1|xi−xj|)2≤2(n2−1)3n∑i,j=1(xi−xj)2. Докажите, что оно обращается в равенство только если числа x1,…,xn образуют арифметическую прогрессию.
|
|
|
Решение |
Задача 73753 |
|
|
а) x1, x2, x3, x4, x5 – положительные числа. Докажите, что квадрат суммы этих чисел не меньше учетверённой суммы произведений x1x2, x2x3, x3x4, x4x5 и x5x1.
б) При каком наибольшем cn для любых неотрицательных x1, ..., xn верно неравенство (x1 + x2 + ... + xn)² ≥ cn(x1x2 + x2x3 + ... + xnx1)
(в правой части n слагаемых)?
|
|
Решение |
Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 43]
