Фильтр
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи
Даны два единичных куба с общим центром. Всегда ли можно занумеровать вершины каждого из кубов от $1$ до $8$ так, чтобы расстояние между любыми двумя вершинами с одинаковыми номерами не превышало $\frac{4}{5}$? А чтобы не превышало $\frac{13}{16}$?
Решение
Решение
а) К любому конечному множеству точек плоскости, обладающему тем свойством, что любые три точки из этого множества являются вершинами невырожденного тупоугольного треугольника, всегда можно добавить ещё одну точку так, что это свойство сохранится. Докажите это. Решение
Убрать все задачи
Даны два единичных куба с общим центром. Всегда ли можно занумеровать вершины каждого из кубов от $1$ до $8$ так, чтобы расстояние между любыми двумя вершинами с одинаковыми номерами не превышало $\frac{4}{5}$? А чтобы не превышало $\frac{13}{16}$?
РешениеПусть ABC – остроугольный треугольник, C' и A' – произвольные точки на сторонах AB и BC соответственно, B' – середина стороны AC.
а) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' не больше половины площади треугольника ABC.
б) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' равна четверти
площади треугольника ABC тогда и только тогда, когда хотя бы одна из точек
A', C' совпадает с серединой соответствующей стороны.
Решениеа) К любому конечному множеству точек плоскости, обладающему тем свойством, что любые три точки из этого множества являются вершинами невырожденного тупоугольного треугольника, всегда можно добавить ещё одну точку так, что это свойство сохранится. Докажите это.
б) Справедливо ли аналогичное утверждение для бесконечного множества точек плоскости?
Решение
Задачи
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 9]
Докажите, что угол наклонной с плоскостью есть наименьший
из углов, образованных этой наклонной со всевозможными
прямыми плоскости.
Докажите, что каждый плоский угол выпуклого четырёхгранного
угла меньше суммы трёх остальных.
Докажите, что сумма углов пространственного четырёхугольника
не превосходит 360o .
У выпуклых четырёхугольников ABCD и A'B'C'D' соответственные стороны равны.
Доказать, что если
A > A', то
B < B',
C > C' и
D < D'.
а) К любому конечному множеству точек плоскости, обладающему тем свойством, что любые три точки из этого множества являются вершинами невырожденного тупоугольного треугольника, всегда можно добавить ещё одну точку так, что это свойство сохранится. Докажите это.
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 9]
Задача 87107 |
|
|
|
|
Решение |
Задача 87109 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 87110 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 77919 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 73767 |
|
|
б) Справедливо ли аналогичное утверждение для бесконечного множества точек плоскости?
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 9]
