Фильтр
Выбрано 25 задач Убрать все задачи
Пусть ABCD – выпуклый четырехугольник. Докажите, что AB + CD < AC + BD.
Имеется необычный калькулятор. При включении калькулятора на экране возникает дробь 1/1. При нажатии на кнопку * к числителю дроби, изображенной на экране, прибавляется знаменатель, а знаменатель остается прежним. При нажатии на кнопку $ числитель и знаменатель дроби меняются местами. Других кнопок на калькуляторе нет.
а) Что покажет калькулятор после выполнения следующей последовательности
команд: $ * * * * * * * * * * $ ?
Как добиться того, чтобы калькулятор показал:
б) 1/2, в) 7/3, г) 4/11, д) 57/91 ?
Найти наибольший общий делитель чисел 2n + 13 и n + 7.
Функция y = f (x) определена на отрезке [0;1] и в каждой точке этого отрезка имеет первую и вторую производные. Известно, что f (0) = f (1) = 0 и что |f''(x)| ≤ 1 на всём отрезке. Какое наибольшее значение может принимать максимум функции f для всевозможных функций, удовлетворяющих этим условиям?
Существует ли выпуклый четырёхугольник, у которого сумма длин диагоналей не меньше периметра?
Существует ли плоский четырехугольник, у которого тангенсы всех внутренних углов равны?
Найдите двугранные углы трёхгранного угла, плоские углы которого равны 90o , 90o и α .
Четырехугольник имеет ось симметрии. Докажите, что
этот четырехугольник либо является равнобедренной трапецией,
либо симметричен относительно диагонали.
Дан трёхгранный угол. Рассмотрим три плоскости, содержащие его грани. Эти плоскости разбивают пространство на восемь трёхгранных углов. а) Найдите плоские углы всех образовавшихся трёхгранных углов, если плоские углы исходного трёхгранного угла равны x , y и z . б) Найдите двугранные углы всех образовавшихся трёхгранных углов, если двугранные углы исходного трёхгранного угла равны α , β и γ .
Докажите, что если α < 0 < β, то
Sα(x) ≤ S0(x) ≤ Sβ(x), причём
Определение средних степенных Sα(x) можно посмотреть в справочнике.
Внутри круга радиуса R взята точка A. Через неё проведены две перпендикулярные прямые. Потом прямые повернули на угол φ относительно точки A. Хорды, высекаемые окружностью из этих прямых, замели при повороте фигуру, имеющую форму креста с центром в точке A. Найдите площадь креста.
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD с попарно непараллельными сторонами. На стороне AD выбирается произвольная точка P, отличная от A и D. Описанные окружности треугольников ABP и CDP вторично пересекаются в точке Q. Докажите, что прямая PQ проходит через фиксированную точку, не зависящую от выбора точки P.
На сторонах треугольника ABC внешним образом
построены треугольники ABC', AB'C и A'BC, причем сумма
углов при вершинах A', B' и C' кратна
180o. Докажите,
что описанные окружности построенных треугольников пересекаются в
одной точке.
В треугольник, основание которого равно 48, а высота – 16, вписан прямоугольник с отношением сторон 5 : 9, причём большая сторона лежит на основании треугольника. Найдите стороны прямоугольника.
Известно, что в некоторую пирамиду можно вписать шар. Докажите, что объём этой пирамиды равен трети произведения радиуса этого шара на полную поверхность пирамиды.
Все плоские углы трёхгранного угла равны 90o . Найдите углы между биссектрисами плоских углов.
Докажите, что выпуклый четырёхгранный угол можно пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился параллелограмм.
Докажите, что площадь проекции куба с ребром 1 на любую плоскость численно равна длине его проекции на прямую, перпендикулярную этой плоскости.
Докажите, что в любой правильной пирамиде все боковые ребра
равны.
В треугольнике ABC сторона BC равна полусумме двух других сторон. Через точку A и середины B', C' сторон AB и AC проведена окружность Ω и к ней из центра тяжести треугольника проведены касательные. Доказать, что одна из точек касания является центром I вписанной окружности треугольника ABC.
Произвольный четырехугольник разделен диагоналями на четыре треугольника; площади трех из них равны 10, 20 и 30, и каждая меньше площади четвертого треугольника. Найдите площадь данного четырехугольника.
Докажите, что при гомотетии окружность переходит в окружность.
Внутри данной окружности находится другая окружность. CAE и DBF - две хорды большей окружности (не пересекающиеся), касающиеся меньшей окружности в точках A и B;CND, EPF - дуги между концами хорд. Найдите угловую величину дуги CND, если дуги AMB и EPF содержат соответственно 154o и 70o.
Отрезки AD , BD и CD попарно перпендикулярны. Известно, что площадь треугольника ABC равна S , а площадь треугольника ABD равна Q . Найдите площадь ортогональной проекции треугольника ABD на плоскость ABC .
В треугольнике ABC из произвольной точки D на стороне AB проведены две прямые, параллельные сторонам AC и BC, пересекающие BC и AC соответственно в точках F и G. Доказать, что сумма длин описанных окружностей треугольников ADG и BDF равна длине описанной окружности треугольника ABC.
Задачи Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 78]
Задача 54656 |
|
|
Докажите, что отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
|
|
Решение |
Задача 76424 |
|
|
В треугольнике ABC из произвольной точки D на стороне AB проведены две прямые, параллельные сторонам AC и BC, пересекающие BC и AC соответственно в точках F и G. Доказать, что сумма длин описанных окружностей треугольников ADG и BDF равна длине описанной окружности треугольника ABC.
|
|
Решение |
Задача 53757 |
|
|
В треугольник, основание которого равно 48, а высота – 16, вписан прямоугольник с отношением сторон 5 : 9, причём большая сторона лежит на основании треугольника. Найдите стороны прямоугольника.
|
|
|
Решение |
Задача 53758 |
|
|
В треугольник, у которого основание равно 30, а высота – 10, вписан прямоугольный равнобедренный треугольник так, что его гипотенуза параллельна основанию данного треугольника, а вершина прямого угла лежит на этом основании. Найдите гипотенузу.
|
|
|
Решение |
Задача 52688 |
|
|
Периметр треугольника ABC равен 8. В треугольник вписана окружность и к ней проведена касательная, параллельная стороне AB. Отрезок этой касательной, заключённый между сторонами AC и CB, равен 1. Найдите сторону AB.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 78]
