Версия для печати
Убрать все задачи

---

Медианы треугольника ABC разрезают его на 6 треугольников. Докажите, что центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности.

   Решение

---

Докажите, что если вершины шестиугольника ABCDEF лежат на одной конике, то точки пересечения продолжений его противоположных сторон (т. е. прямых AB и DE, BC и EF, CD и AF) лежат на одной прямой (Паскаль).

   Решение

---

Школьник хочет вырезать из квадрата размером 2n×2n наибольшее количество прямоугольников размером 1×(n + 1). Найти это количество для каждого натурального значения n.

   Решение

---

Докажите, что произвольное уравнение третьей степени  z³ + Az² + Bz + C = 0  при помощи линейной замены переменной  z = x + β  можно привести к виду  x³ + px + q = 0.

   Решение

---

В шестиугольнике, описанном около окружности, даны пять последовательных сторон — a, b, c, d, e. Найдите шестую сторону.

   Решение

---

В таблице
    0 1 2 3 ... 9
    9 0 1 2 ... 8
    8 9 0 1 ... 7
        ...
    1 2 3 4 ... 0
отмечено 10 элементов так, что в каждой строке и каждом столбце отмечен один элемент.
Докажите, что среди отмеченных элементов есть хотя бы два равных.

   Решение

---

Можно ли невыпуклый четырехугольник разрезать двумя прямыми на 6 частей?

   Решение

---

Биссектрисы $AI$ и $CI$ пересекают описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $A_1$, $C_1$ соответственно. Описанная окружность треугольника $AIC_1$ пересекает сторону $AB$ в точке $C_0$; аналогично определим $A_0$. Докажите, что точки $A_0,$ $A_1$, $C_0$, $C_1$ лежат на одной прямой.

   Решение

---

Известно, что  a⁵ – a³ + a = 2.  Докажите, что  a⁶ > 3.

   Решение

---

Можно ли разрезать правильный треугольник на 1000000 выпуклых многоугольников так, чтобы любая прямая имела общие точки не более чем с 40 из них?

   Решение

---

Каждое неотрицательное целое число представимо, причём единственным образом, в виде     где x и y – целые неотрицательные числа. Докажите это.

   Решение

---

Параллелограмм $ABCD$ разделён диагональю $BD$ на два равных треугольника. В треугольник $ABD$ вписан правильный шестиугольник так, что две его соседние стороны лежат на $AB$ и $AD$, а одна из вершин – на $BD$. В треугольник $CBD$ вписан правильный шестиугольник так, что две его соседние вершины лежат на $CB$ и $CD$, а одна из сторон – на $BD$. Какой из шестиугольников больше?

   Решение

---

Даны три различных ненулевых числа. Петя и Вася составляют квадратные уравнения, подставляя эти числа в качестве коэффициентов, но каждый раз в новом порядке. Если у уравнения есть хотя бы один корень, то Петя получает фантик, а если ни одного, то фантик достаётся Васе. Первые три фантика достались Пете, а следующие два — Васе. Можно ли определить, кому достанется последний, шестой фантик?

   Решение

---

Докажите, что выпуклый 22-угольник нельзя разрезать диагоналями на 7 пятиугольников.

   Решение

---

Внутри прямоугольного листа бумаги вырезали n прямоугольных дыр со сторонами, параллельными краям листа. На какое наименьшее число прямоугольных частей можно гарантированно разрезать этот дырявый лист? (Дыры не перекрываются и не соприкасаются.)

   Решение

---

Проверьте, что многочлены Чебышёва T_n(x) и U_n(x) (см. задачу 61099) удовлетворяют начальным условиям
T₀(x) = 1,   T₁(x) = x;   U₀(x) = 1,   U₁(x) = 2x,   и рекуррентным формулам   T_n+1(x) = 2xT_n(x) – T_n–1(x),   U_n+1(x) = 2xU_n(x) – U_n–1(x).

   Решение

---

Точки сторон правильного треугольника раскрашены в два цвета. Докажите, что найдётся прямоугольный треугольник с вершинами одного цвета.

   Решение

---

Точка удалена от прямой MN на расстояние a. Данным радиусом r описана окружность так, что она проходит через точку A и касается прямой MN. Найдите расстояние между полученной точкой касания и данной точкой A.

   Решение

---

Последовательность {a_n} определяется правилами:  a₀ = 9,    .
Докажите, что в десятичной записи числа a₁₀ содержится не менее 1000 девяток.

   Решение

---

а) Определение (смотри в справочнике) функций g_k,l(x) не позволяет вычислять их значения при  x = 1.  Но, поскольку функции g_k,l(x) являются многочленами, они определены и при  x = 1.  Докажите равенство  

б) Какие свойства биномиальных коэффициентов получаются, если в свойства б) – г) из задачи 61522 подставить значение  x = 1?

   Решение

---

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по стороне, противолежащему углу и радиусу вписанной окружности.

   Решение

---

Докажите, что если  a + b + c = 0,  то   2(a⁵ + b⁵ + c⁵) = 5abc(a² + b² + c²).

   Решение

---

Объясните поведение следующей десятичной дроби и найдите её период:  ¹/₂₄₃ = 0,004115226337448...

   Решение

---

На каждой стороне параллелограмма взято по точке. Площадь четырёхугольника с вершинами в этих точках равна половине площади параллелограмма. Докажите, что хотя бы одна из диагоналей четырёхугольника параллельна одной из сторон параллелограмма.

   Решение

---

Последовательность a₀, a₁, a₂, ... образована по закону:  a₀ = a₁ = 1,  a_n+1 = a_na_n–1 + 1.  Доказать, что число a₁₉₆₄ не делится на 4.

   Решение

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 112]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60593  [Фибоначчиевы коэффициенты]

Темы:   [ Числа Фибоначчи ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Данная таблица аналогична треугольнику Паскаля и состоит из фибоначчиевых коэффициентов     определяемых равенством

  а) Докажите, что фибоначчиевы коэффициенты обладают свойством симметрии  

  б) Найдите формулу, которая выражает коэффициент     через     и     (аналогичную равенству б) из задачи 60413).

  в) Объясните, почему все фибоначчиевы коэффициенты являются целыми числами.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61101

Темы:   [ Многочлены Чебышева ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Докажите, что у многочлена 2T_n(^x/₂) старший коэффициент равен единице, а все остальные коэффициенты – целые числа.
Здесь T_n – многочлен Чебышёва, смотри задачу 61099.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78515

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Периодичность и непериодичность ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Последовательность a₀, a₁, a₂, ... образована по закону:  a₀ = a₁ = 1,  a_n+1 = a_na_n–1 + 1.  Доказать, что число a₁₉₆₄ не делится на 4.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98189

Темы:   [ Последовательности (прочее) ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7,8

В строчку выписано 10 целых чисел. Вторая строчка находится так: под каждым числом A первой строчки пишется число, равное количеству чисел первой строчки, которые больше A и при этом стоят правее A. По второй строчке аналогично строится третья строчка и т. д.
  а) Докажите, что все строчки, начиная с некоторой – нулевые (состоят из сплошных нулей).
  б) Каково максимально возможное число ненулевых строчек (содержащих хотя бы одно число, отличное от нуля)?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98217

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Ограниченность, монотонность ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Последовательность натуральных чисел  a₁, a₂, ..., a_n, ...  такова, что для каждого n уравнение  a_n+2x² + a_n+1x + a_n = 0  имеет действительный корень. Может ли число членов этой последовательности быть
  а) равным 10;
  б) бесконечным?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 112]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями