Каталог по темам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 35746

Темы:	[	Многогранные углы	]
	[	Параллельность прямых и плоскостей	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Докажите, что выпуклый четырёхгранный угол можно пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился параллелограмм.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73629

Темы:	[	Многогранные углы	]
	[	Средние величины	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Формула Эйлера. Эйлерова характеристика	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Лиманов Л.Г.

Если в каждой вершине выпуклого многогранника сходятся не менее чем четыре ребра, то хотя бы одна из его граней – треугольник.
Докажите это.

Прислать комментарий

Решение

Задача 87114

Темы:	[	Многогранные углы	]
Темы:	[	Неравенства с трехгранными углами	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Докажите, что сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360^o .

Прислать комментарий Решение

Задача 79564

Темы:	[	Сфера, вписанная в тетраэдр	]
	[	Касательные к сферам	]
	[	Вспомогательная раскраска (прочее)	]
	[	Многогранные углы	]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

Автор: Шарыгин И.Ф.

На рёбрах произвольного тетраэдра выбрано по точке. Через каждую тройку точек, лежащих на рёбрах с общей вершиной, проведена плоскость. Докажите, что если три из четырёх проведённых плоскостей касаются вписанного в тетраэдр шара, то и четвёртая плоскость также его касается.

Прислать комментарий Решение

Задача 73537

Темы:	[	Окружности на сфере	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Правильная пирамида	]
	[	Многогранные углы	]
	[	Неравенства с трехгранными углами	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 7
Классы: 10,11

Дана сфера радиуса 1. На ней расположены равные окружности γ₀, γ₁, ..., γ_n радиуса r (n ≥ 3). Окружность γ₀ касается всех окружностей γ₁, ..., γ_n; кроме того, касаются друг друга окружности γ₁ и γ₂, γ₂ и γ₃, ..., γ_n и γ₁. При каких n это возможно? Вычислите соответствующий радиус r.

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]